线性代数复习第二章矩阵

第二章矩阵

2.1 矩阵的概念

矩阵的概念和运算

矩阵和前面的行列式定义类似，记 A=(aij)m×n\mathbf{A} = (a_{ij})_{m \times n} 为 m×nm \times n 矩阵。

单位矩阵，主对角线均为 11，其他均为 00 的矩阵，记为 E\mathbf{E} 或者 I\mathbf{I}
对角矩阵，主对角线上都是常数，其他的都是零
三角矩阵，分上三角矩阵和下三角矩阵
对称矩阵，AT=A\mathbf{A}^T = \mathbf{A}
反对矩阵，AT=−A\mathbf{A}^T = -\mathbf{A}
正交矩阵，A\mathbf{A} 为方阵，且 ATA=AAT=E\mathbf{A}^T\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{A}^T = \mathbf{E}
可交换矩阵，设 A\mathbf{A} 和 B\mathbf{B} 是同阶矩阵，且 AB=BA\mathbf{AB}=\mathbf{BA}

矩阵的乘法不满足交换律，两个矩阵乘为零矩阵也不能说明其中一个是零矩阵。

方阵的行列式

只有方阵才有行列式的概念，记方阵 A\mathbf{A} 的行列式为 |A||\mathbf{A}| 或者 det(A)\text{det}(\mathbf{A})，有下面的性质：

|AT|=|A||\mathbf{A}^T| = |\mathbf{A}|
- 即转置不改变行列式的值
|kA|=kn|A||k\mathbf{A}| = k^n|\mathbf{A}|
- 矩阵中的系数 kk 和行列式中的某行（列）的系数不一样，注意区分。
|AB|=|A||B||\mathbf{AB}| = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|
- 这个证明很麻烦，要从定义入手。
- 矩阵加法的行列式不能拆分，只有矩阵乘法满足。

2.2 逆矩阵和伴随矩阵

逆矩阵

对于 nn 阶方阵 A,B\mathbf{A,B}，若满足 AB=BA=E\mathbf{AB=BA=E}，那么两个矩阵可以互称作是逆矩阵，记作 A−1=B\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{B}

逆矩阵有下面的一些性质：

若 A\mathbf{A} 可逆，则其可逆矩阵唯一。
若 A\mathbf{A} 可逆，则AT\mathbf{A}^T 和 A−1\mathbf{A}^{-1} 也可逆。(AT)−1=(A−1)T(\mathbf{A}^T)^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^T 且 (A−1)−1=A(\mathbf{A}^{-1})^{-1} = \mathbf{A}
若 A\mathbf{A} 可逆，且 k≠0k \ne 0，则 (kA−1)=1kA−1(k\mathbf{A}^{-1}) = \frac1k \mathbf{A}^{-1}
若 A\mathbf{A} 可逆，则 |A−1|=1|A||\mathbf{A}^{-1}| = \frac{1}{|\mathbf{A}|}
若 AB=O\mathbf{AB=O}，A\mathbf{A} 可逆能推出 B=0\mathbf{B} = \mathbf{0}，而 B\mathbf{B} 可逆能推出 A=0\mathbf{A} = \mathbf{0}

补充：对于 nn 阶方阵 A\mathbf{A}，下面所有的说法都是等价的，

方阵 A\mathbf{A} 是可逆的

|A|≠0|\mathbf{A}| \ne 0，A\mathbf{A} 不是奇异矩阵

A\mathbf{A} 等价于 nn 阶单位矩阵，可表示成初等矩阵的乘积

矩阵 A\mathbf{A} 满秩，即 r(A)=nr(\mathbf{A}) = n

A\mathbf{A} 的行（列）向量线性无关

任何的 nn 维向量，可以用 A\mathbf{A} 的行（列）向量组线性表示。

齐次线性方程组 Ax=0\mathbf{Ax=0} 仅有零解

非齐次线性方程组 Ax=b\mathbf{Ax=b} 有唯一解

伴随矩阵

把矩阵 A=(aij)n×n\mathbf{A} = (a_{ij})_{n \times n} 的项替换成其对应的代数余子式 Aij\mathbf{A}_{ij}，那么得到的矩阵做转置后就是伴随矩阵。记作

A∗=(Aji)=(Aij)T

\mathbf{A}^* = (\mathbf{A}_{ji}) = (\mathbf{A}_{ij})^T

伴随矩阵可以用来求逆矩阵，存在下面的转换公式

A−1=1|A|A∗

\mathbf{A}^{-1} = \frac1{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^*

伴随矩阵的主要性质如下：

AA∗=A∗A=|A|E\mathbf{AA}^* = \mathbf{A}^*\mathbf{A} = |\mathbf{A}|\mathbf{E}
若 A 可逆，那么 A∗A^* 也可逆，且，
- A∗=|A|A−1\mathbf{A}^* = |\mathbf{A}|\mathbf{A}^{-1}
- (A∗)−1=(A−1)∗=1|A|A(\mathbf{A}^*)^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^* = \frac1{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}
|A∗|=|A|n−1|\mathbf{A}^*| = |\mathbf{A}|^{n-1}
(A∗)∗=|A|n−2A(\mathbf{A}^*)^* = |\mathbf{A}|^{n-2}\mathbf{A}

2.3 分块矩阵

分块矩阵的求逆有一些常见的形式，如下：

[AOOB]−1=[A−1OOB−1]\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{bmatrix}
[AOCB]−1=[A−1O−A−1CB−1B−1]\begin{bmatrix} A & C \\ O & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O & B^{-1} \end{bmatrix}
[ACOB]−1=[A−1−B−1CA−1OB−1]\begin{bmatrix} A & O \\ C & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{bmatrix}
[OBAO]−1=[OA−1B−1O]\begin{bmatrix} O & A \\ B & O \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{bmatrix}

有了上面的公式，可以推一下这个式子：

[AOOB]∗=|AB|[A−1OOB−1]=|A||B|[A−1OOB−1]=[|B||A|A−1OO|A||B|B−1]=[|B|A∗OO|A|B∗]

\begin{align*} \begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^* & = |AB| \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{bmatrix} = |A||B| \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} |B||A|A^{-1} & O \\ O & |A||B|B^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |B|A^* & O \\ O & |A|B^* \end{bmatrix}\end{align*}

分块矩阵求行列式也有一些常见的形式，

∣∣∣AOOB∣∣∣=∣∣∣AOCB∣∣∣=∣∣∣AOCB∣∣∣=|A||B|\begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = |A||B|
∣∣∣OBn×nAm×mO∣∣∣=(−1)mn|A||B|\begin{vmatrix} O & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B|
∣∣∣ACBD∣∣∣≠|AD−BC|\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} \ne |AD - BC|，注意当且仅当 AC=CAAC=CA 时等号成立。

2.4 初等变换

初等变换

一共只有三种初等变换：
1. 交换两行（列）
2. 某行（列）乘以某常数 kk
3. 某行（列）的 kk 倍加到另一行（列）

对一个矩阵进行这三种初等变换，不会改变行列式的值。初等变换可以通过乘以一个初等矩阵来实现。

初等矩阵

在单位矩阵中实行三种变换得到的矩阵，可以记作是 Eij,Ei(k),Eij(k)\mathbf{E}_{ij}, \mathbf{E}_i(k), \mathbf{E}_{ij}(k)

对矩阵进行一次初等行变换，相当于在矩阵左边乘以同类型的初等矩阵；同理列变换则要在右边乘。

若存在可逆矩阵 P,Q\mathbf{P}, \mathbf{Q}，使 PAQ=B\mathbf{PAQ}=\mathbf{B}，则称 A,B\mathbf{A}, \mathbf{B} 为等价矩阵，记作 A≅B\mathbf{A} \cong \mathbf{B}，而等价矩阵的秩是一样的。

矩阵的秩

kk 阶子式 Mk\mathbf{M}_k 指的是，在原矩阵中选取 kk 行和 kk 列后，由交叉处的元素构成的新矩阵的行列式，是一个数值。

对矩阵 A\mathbf{A}，若存在 Mk≠0\mathbf{M}_k \ne 0，但是任意的 k+1k+1 阶子式都是零，则定义矩阵 A\mathbf{A} 的秩为 kk，即 r(A)=kr(\mathbf{A}) = k

PS 所以秩的定义是从行列式来的，就是行列式不为零的极大子方阵的行数。

可以通过左右乘以一些初等矩阵的方法来求矩阵的秩，具体如下：对矩阵 Am×n\mathbf{A}_{m \times n}，有 mm 阶可逆矩阵 P\mathbf{P} 和 nn 阶可逆矩阵 Q\mathbf{Q}，使得

PAQ=[ErOOO]

\mathbf{PAQ} = \begin{bmatrix} \mathbf{E}_r & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O} \end{bmatrix} 其中 Er\mathbf{E}_r 为 rr 阶单位矩阵，那么有 r(A)=rr(\mathbf{A}) = r.

矩阵秩的性质：

r(Am×n)≤min(m,n)r(\mathbf{A}_{m \times n}) \le min(m,n)
- 即秩的上界不会超过行和列的数量
- 秩也有下界，只要不为零矩阵，秩至少为 11
r(A)=r(AT)=r(kA),k≠0r(\mathbf{A}) = r(\mathbf{A^T}) = r(k\mathbf{A}), k \ne 0
- 即转置，常数系数不会改变矩阵的秩
r(A±B)≤r(A)+r(B)r(\mathbf{A} \pm \mathbf{B}) \le r(\mathbf{A}) + r(\mathbf{B})
若 Am×nBn×s=O\mathbf{A}_{m \times n}\mathbf{B}_{n \times s} = \mathbf{}O，则 r(A)+r(B)≤nr(\mathbf{A}) + r(\mathbf{B}) \le n
- 证明的话，考虑把矩阵 A\bf{A} 写成向量组的形式，由于等式右边是零向量，那么可以用矩阵 B\bf{B} 的元素线性表示这些向量组。
- 设矩阵 B\bf{B} 向量组的秩为 rr，那么由上面线性表示的关系有 r(A)≤n−rr(\mathbf{A}) \le n-r
r(AB)≤min(r(A),r(B))r(\mathbf{AB}) \le min(r(\mathbf{A}), r(\mathbf{B}))
r([AOOB])=r(A)+r(B)r(\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{B} \end{bmatrix}) = r(\mathbf{A}) + r(\mathbf{B})
等阶矩阵 A,B\mathbf{A}, \mathbf{B} 等价 ⇔\Leftrightarrow r(A)=r(B)r(\mathbf{A}) = r(\mathbf{B})

可以通过初等变换来求逆矩阵

(A | E)−→−−−初等变换(E | A−1)

(\mathbf{A}\ |\ \mathbf{E}) \xrightarrow{初等变换} (\mathbf{E}\ |\ \mathbf{A}^{-1})

当左边的原始矩阵通过基本的初等变换，转换成单位矩阵时；右边的单位矩阵也就成了原始矩阵的逆矩阵。