Description

作为一个化学小考只有77分的同学，小W感觉很有压力，所以他决定搞化学。今天他开始研究超氧化钾，这是一种很神奇的离子化合物，在高温下空间结构是立方体，如下图所示。有一天教黄交给了小W一个任务：根据教黄多年淘金的经验，他发现超氧化钾有一个神奇的性质就是如果一组有序的整数(x,y,z)满足z=x mod 1+x mod 2+…+x mod y，那么对于超氧化钾来说这个位置上的离子就是一个关键离子。通过用回旋加速器得到高速粒子来攻击这个离子，他就可以获得铜铝制金法的催化剂。现在教黄想知道对于一个给定的x和y对应的z值是多少。

Input

两个整数x,y。

Output

一个整数z。

Sample Input

1 1

Sample Output

Data Constraint

40%的数据，y<=10^5。
100%的数据，1<=x,y<=10^9。

Solution

先拆式子，因为 $x \ mod \ i=x-\left \lfloor x/i \right \rfloor*i$ ，故可以转化为计算 $x*y-\sum \left \lfloor x/i \right \rfloor*i\ (i=1-y)$ 的值。通过找规律可以发现对于任意整数 $y \in [1,x]$ ， $\forall i\in [y,\left \lfloor x/\left \lfloor x/y \right \rfloor \right \rfloor],\ \ \left \lfloor x/i \right \rfloor$ 的值都相等。另外 $\forall i\in [1,x]$ ， $\left \lfloor x/i \right \rfloor$ 至多只有 $2\sqrt{x}$ 个不同的值。因为当 $i\leq \sqrt{x}$ 时，i只有 $\sqrt{x}$ 种选择，所以 $\left \lfloor x/i \right \rfloor$ 至多只有 $\sqrt{x}$ 个不同的值；而当 $i> \sqrt{x}$ 时， $\left \lfloor x/i \right \rfloor< \sqrt{x}$ ，所以 $\left \lfloor x/i \right \rfloor$ 也最多只有 $\sqrt{x}$ 个不同的值。综上，对于i=1~x， $\left \lfloor x/i \right \rfloor$ 由不超过 $2\sqrt{x}$ 段组成，每一段 $i\in [y,\left \lfloor x/\left \lfloor x/y \right \rfloor \right \rfloor]$ 中 $\left \lfloor x/i \right \rfloor$ 的值都等于 $\left \lfloor x/y \right \rfloor$ 。在该段中，算式 $\left \lfloor x/i \right \rfloor*i=\left \lfloor x/y \right \rfloor*i$ 就是一个公差为的 $\left \lfloor x/y \right \rfloor$ 等差数列，可以直接用等差数列求和公式计算。时间复杂度为O( $\sqrt{x}$ )。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll x,y,ans,s,t;
int main(){scanf("%lld%lld",&x,&y);ans=x*y;s=1;t=0;
//  if(y>x) y=x;while(s<=y){if(x<s) break;//此句于上条if语句用处一样，用于判断y>x的情况t=x/(x/s);if(t>y) t=y;ans-=(x/s)*(s+t)*(t-s+1)/2;s=t+1;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

作者：zsjzliziyang
QQ:1634151125
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