利用Kuhn-Munkras算法求最小权值匹配
本文参考博客:
http://blog.csdn.net/zhangpinghao/article/details/12242823(代码参考该博客)
http://philoscience.iteye.com/blog/1754498(个人认为对km算法讲解比较好)
KM算法求的是基于带权二分图中完备匹配下的最大权值匹配。关于km算法的讲解网上资料比较丰富,此处就不详述啦。这里主要整理一些用KM算法求最小权值匹配的一些问题。
在求最大权值匹配时,不存在的边的权值设为0。在求最小权值匹配时,可以考虑将对应的权值变为相反数,或者用一个很大的数减去权值,然后再来求最大权值匹配,最后将权值和取反即可。如果使用将对应的权值变为相反数的方法,则不存在的边的权值此时要设为INT_MAX(即,实际中求匹配时使用的是-INT_MAX),如此设置之后还需要特别注意溢出的问题,
if( !sy[j] && ((lx[i] + ly[j] - weight[i][j] )<inc)
这一句对于带符号整型数可能会溢出,所以此句可以改成if( !sy[j] && weight[i][j]!=-INT_MAX && ((lx[i] + ly[j] - weight[i][j] )<inc)
,即不予考虑不存在的边。注意,km算法求的是完备匹配,即x集中的点数m与y集中的点数n不一定相同,但m<=n,最终结果是给x集合中的每一个值都找到一个y中的匹配。
如果一个y集合中的点最多可以对应n个x集合中的点,则可以将y中的点数拓展n倍,最后变成一一对应的关系。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <memory.h>
#include <algorithm>
#include <limits.h>using namespace std; #define MAX 100 int m,n; //x集与y集的点数
int weight[MAX][MAX]; //边的权重
int lx[MAX],ly[MAX]; //期望值,定点标号
bool sx[MAX],sy[MAX]; //记录寻找增广路时点集x,y里的点是否搜索过
int match[MAX]; //match[i]记录y[i]与x[match[i]]相对应 bool search_path(int u) { //给x[u]找匹配,这个过程和匈牙利匹配是一样的 int v;sx[u]=true; for(v=0; v<n; v++){ if(!sy[v] &&lx[u]+ly[v] == weight[u][v]){ //对于还没搜索过的且在相等子图中的点 sy[v]=true; //标记一下表示搜索过if(match[v]==-1 || search_path(match[v])){ //名花无主或者还能腾出个位置(使用递归) match[v]=u; return true; } } } return false;
} int Kuhn_Munkras(bool max_weight){ //表示求最大匹配(1)还是最小匹配(0)int i,j,u,inc,sum;if(!max_weight){ //如果求最小匹配,则要将边权取反 for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) weight[i][j]=-weight[i][j]; } //初始化顶标,lx[i]设置为max(weight[i][j] | j=0,..,n-1 ), ly[i]=0; for(i=0;i<m;i++){ lx[i]=-0x7fffffff; for(j=0;j<n;j++) if(lx[i]<weight[i][j]) lx[i]=weight[i][j]; } for(j=0;j<n;j++)ly[j]=0;memset(match,-1,sizeof(match)); //不断修改顶标,直到找到完备匹配或完美匹配 for(u=0;u<m;u++){ //为x里的每一个点找匹配 while(1){ memset(sx,0,sizeof(sx)); memset(sy,0,sizeof(sy)); if(search_path(u)) //x[u]在相等子图找到了匹配,继续为下一个点找匹配 break; //如果在相等子图里没有找到匹配,就修改顶标,直到找到匹配为止 //首先找到修改顶标时的增量inc, min(lx[i] + ly [i] - weight[i][j],inc);,lx[i]为搜索过的点,ly[i]是未搜索过的点,因为现在是要给u找匹配,所以只需要修改找的过程中搜索过的点,增加有可能对u有帮助的边 inc=0x7fffffff; for(i=0;i<m;i++){if(sx[i]) //x是搜索过的点for(j=0;j<n;j++){if(!sy[j]&&((lx[i] + ly [j] - weight[i][j] )<inc)) inc = lx[i] + ly [j] - weight[i][j] ; //y是未搜索过的点}}//找到增量后修改顶标,因为sx[i]与sy[j]都为真,则必然符合lx[i] + ly [j] =weight[i][j],然后将lx[i]减inc,ly[j]加inc不会改变等式,但是原来lx[i] + ly [j] !=weight[i][j]即sx[i]与sy[j]最多一个为真,lx[i] + ly [j] 就会发生改变,从而符合等式,边也就加入到相等子图中 if(inc==0) cout<<"fuck!"<<endl; //都无法求其次,简直不可理喻,所以找不到完备匹配for(i=0;i<m;i++){ if(sx[i]) lx[i]-=inc; //所有已搜索过的x减少相同的量,便于给其他的x找其他的路径}for(i=0;i<n;i++){if(sy[i]) ly[i]+=inc; //对应的ly[]加上inc使得Lx[]+Ly[]与weight[]始终保持一致} } } sum=0; for(i=0;i<n;i++) if(match[i]>=0) sum+=weight[match[i]][i]; if(!max_weight) sum=-sum; return sum; }int main(){ int i,j;printf("请输入X集与Y集的点数:M,N\n");scanf("%d%d",&m,&n); printf("请输入权重\n");for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) scanf("%d",&weight[i][j]);printf("%d\n",Kuhn_Munkras(0)); for(i=0;i<n;i++)printf("%d ",match[i]);system("pause"); return 0;
}
一些重要概念的补充:
- 二分图:顶点分为两个集合X和Y,所有的边关联在两个顶点中,恰好一个属于集合X,另一个属于集合Y。
- 最大匹配:图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。(这个时候不涉及权值)
- 完备匹配与完美匹配:G=< V1, V2, E >,|V1|<=|V2|,M为G中的一个最大匹配,且|M|=|V1|,则称M为V1到V2的完备匹配,若|V2|=|V1|,则完备匹配即为完美匹配,若|V1|<|V2|,则完备匹配为G中的最大匹配。
- 匈牙利算法:用增广路求二分图的最大匹配。
- KM算法:利用匈牙利算法求完备匹配下的最大权重匹配。
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