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计算模型的核心应该是数的表达和数的操作，在 量子计算2 中我们已经简单了解了量子比特(Qubit)，今天来了解一下量子比特的操作，主要包括门操作(Quantum gate)和测量(Measurement)，众所周知测量在量子世界里的地位很特殊，今天也将介绍量子世界里测量的特殊性引起的有趣的效应。

1 经典门与量子门 (Quantum gate)

《Introduction to Classical and Quantum Computing》

表里罗列了经典门与量子门的区别，与这节课相关的是：

1. 基本单位大家都知道一个是比特一个是量子比特；
2. 经典的门就是逻辑门，是与或非这些，多亏了二进制，所以用与或非的门电路即可进行运算，简单举例，01+01=10，其中个位数相同的话各位数的结果就是0，不同为1，这就可以用异或门的电路来计算，量子门接下来会介绍，简单说就是一个酉变换(Unitary transformation)；

1.1 什么是量子门

• 定义：量子门是保持总概率为1的线性变换，即酉变换(Unitary transformation)

在只考虑实数时，酉矩阵即正交矩阵，即旋转和反射的组合。酉矩阵 UUU的简单性质或者是定义即：1 U†U=IU^\dagger U=IU†U=I，与自身共轭转置相乘为为单位矩阵; 2 由1可得U†=U−1U^\dagger =U^{-1}U†=U−1。在后续推送的学习中，我们可以可以看到，单比特量子门操作等同于Bloch sphere (后续会介绍量子里面常用的Bloch sphere，推送2里面的Bloch sphere是常规的认识)上的量子态矢量的旋转。

1.2 单比特门操作

对于单个比特，其纯态∣ψ⟩=[αβ]=α∣0⟩+β∣1⟩|\psi \rangle=\left[\begin{array}{l} \alpha\\ \beta \end{array}\right]=\alpha |0\rangle+\beta |1\rangle∣ψ⟩=[αβ​]=α∣0⟩+β∣1⟩，是个二维列向量，因此，其门操作也就是个2×22\times 22×2的酉矩阵。下面看些门操作的例子。

NOT/X (Pauli-X or NOT)

[0110]\left[\begin{array}{l} 0 &1\\ 1 &0 \end{array}\right][01​10​]
简单来说，就是把量子比特的状态反过来：
[0110][αβ]=[βα]=β∣0⟩+α∣1⟩\left[\begin{array}{l} 0 &1\\ 1 &0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} \alpha\\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \beta\\ \alpha \end{array}\right]=\beta|0\rangle+\alpha |1\rangle[01​10​][αβ​]=[βα​]=β∣0⟩+α∣1⟩

NOT\sqrt{\text{NOT}}NOT​ (Square-Root of NOT)

[1+i1−i1−i1+i]\left[\begin{array}{l} 1+i &1-i\\ 1-i &1+i \end{array}\right][1+i1−i​1−i1+i​]
字面意思。这里看出来使用复数的必要性了，即可以将变换连续分割。

HHH (Hadamard)

12[111−1]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{l} 1 &1\\ 1 &-1 \end{array}\right]2​1​[11​1−1​]
这个HHH门比较常用，因为可以在把基态∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle∣0⟩,∣1⟩转化成对应的基态∣+⟩,∣−⟩|+\rangle,|-\rangle∣+⟩,∣−⟩，即H∣0⟩=∣+⟩H|0\rangle=|+\rangleH∣0⟩=∣+⟩，H∣+⟩=∣0⟩H|+\rangle=|0\rangleH∣+⟩=∣0⟩。

1.3 双比特门操作

张量积(Tensor product)

我们讨论用张量积获得的两个比特，张量积⊗\otimes⊗(tensor product)将两个比特的向量结合起来。
用向量的形式来写：
[ab]⊗[cd]=[acadbcbd]\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right] \otimes\left[\begin{array}{l} c \\ d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} ac \\ ad \\bc\\bd \end{array}\right][ab​]⊗[cd​]=⎣⎢⎢⎡​acadbcbd​⎦⎥⎥⎤​
用Bra-Ket Notation，也称作Dirac Notation，来写：
∣ψ⟩=(a∣0⟩+b∣1⟩)⊗(c∣0⟩+d∣1⟩)=ac∣00⟩+ad∣01⟩+bc∣10⟩+bd∣11⟩|\psi\rangle=(a|0\rangle+b|1\rangle)\otimes (c|0\rangle+d|1\rangle)=ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle∣ψ⟩=(a∣0⟩+b∣1⟩)⊗(c∣0⟩+d∣1⟩)=ac∣00⟩+ad∣01⟩+bc∣10⟩+bd∣11⟩注意，一般形式的双比特a量子态为：
∣ψ⟩=α∣00⟩+β∣01⟩+γ∣10⟩+δ∣11⟩|\psi\rangle=\alpha|00\rangle+\beta|01\rangle+\gamma|10\rangle+\delta|11\rangle∣ψ⟩=α∣00⟩+β∣01⟩+γ∣10⟩+δ∣11⟩
当该量子态不能写成单比特的张量积的形式时，我们认为发生了纠缠(Entanglement)，如：
∣00⟩+∣11⟩2\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}2​∣00⟩+∣11⟩​不可以写成两个量子态的张量积，这个量子态有个名字叫Singlet或者Bell Pair或者EPR Pair。

CNOT

来看个双比特门操作的例子：

其效果，可以从非零元素的行列看出，即将非零元素的行状态变为列状态。CNOT的作用即在第二个量子比特为1时，将第二个量子比特反转。

CNOT可以将两个不相干的比特之间产生联系，CNOT操作也属于控制操作(Controlled gates)，即根据一个control比特的状态来操作另一个target比特。

1.4 多比特操作简介

还是看两个比特的操作，我们可以用单比特操作构成双比特操作，比如I⊗NOTI\otimes \text{NOT}I⊗NOT即对第二个比特进行NOT\text{NOT}NOT操作：

其结果为：

反之，如果我们想对第一个比特操作，就可以用NOT⊗I\text{NOT}\otimes INOT⊗I。

而对于多个比特的简单例子来说，如果我想对第三个比特进行NOT\text{NOT}NOT操作，就可以用I⊗I⊗NOT⊗…I\otimes I\otimes \text{NOT}\otimes \dotsI⊗I⊗NOT⊗…来进行操作。对于多个比特的操作，以及测量，都可以用量子电路来表示，我们在 “4 门与测量” 中会看看量子电路长啥样。

2 测量 (Measurement)

对于一个状态∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣0⟩|\psi \rangle=\alpha |0\rangle+\beta |0\rangle∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣0⟩，我们进行测量的时候需要选定特定的基态进行测量，而测量得到的结果是不确定的，因为测量的时候会发生众所周知的坍塌，即量子态会随机坍塌到我们测量的某个基态上，这个概率用广义玻恩准则计算，如下所示：

2.1 测量结果的概率：Generalized Born rule

假设我们用一组正交基{∣V0⟩,…,∣VN−1⟩}\{|V_0\rangle,\dots,|V_{N-1}\rangle \}{∣V0​⟩,…,∣VN−1​⟩}去测量一个量子态∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩，测量结果为∣Vi⟩|V_i\rangle∣Vi​⟩，即坍塌到∣Vi⟩|V_i\rangle∣Vi​⟩上的概率为∣⟨Vi∣ψ⟩∣2|\langle V_i | \psi \rangle|^2∣⟨Vi​∣ψ⟩∣2，之前的玻恩准则是取标准基∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle∣0⟩,∣1⟩的特殊情况。这个平方很神奇，这可以描述我们接下来要看的一个神奇的效应。

2.2 量子芝诺效应 (Quantum zeno effect)

古希腊哲学家芝诺提出了一些悖论，奇妙的是，量子效应可以对应上这些悖论。我们来看这个量子芝诺效应，简单来说就是，通过测量，我可以将量子态∣0⟩|0\rangle∣0⟩活活的给测量成∣1⟩|1\rangle∣1⟩。要怎么做呢？

如图所示，我一开始有个量子纯态∣0⟩|0\rangle∣0⟩，我用∣v⟩|v\rangle∣v⟩来测量它，那么有(cos⁡ϵ)2≈1−ϵ2(\cos{\epsilon})^2\approx1-\epsilon^2(cosϵ)2≈1−ϵ2的概率∣0⟩|0\rangle∣0⟩会坍塌成∣v⟩|v\rangle∣v⟩，另外有(sin⁡ϵ)2≈ϵ2(\sin{\epsilon})^2\approx\epsilon^2(sinϵ)2≈ϵ2的概率会坍塌成∣w⟩|w\rangle∣w⟩，假设进行1ϵ\frac{1}{\epsilon}ϵ1​次测量，每次都是比前面一次的测量基更偏转ϵ\epsilonϵ的角度，那么最后的测量基∣v⟩|v\rangle∣v⟩会与∣1⟩|1\rangle∣1⟩重合，那我们来看一下这种情况发生的概率是多少。

真实的过程比较复杂，相当于每次测量就产生一个分叉，现在我们只看其中一个路径，即每次测量都落在∣v⟩|v\rangle∣v⟩上的概率：
(1−ϵ2)1ϵ=e1ϵlog⁡(1−ϵ2)(1-\epsilon^2)^{\frac{1}{\epsilon}}=e^{\frac{1}{\epsilon}\log (1-\epsilon^2)}(1−ϵ2)ϵ1​=eϵ1​log(1−ϵ2)当ϵ→0\epsilon\rightarrow0ϵ→0的时候，上述公式变成了e1ϵ(−ϵ2)→1e^{\frac{1}{\epsilon}(-\epsilon^2)}\rightarrow1eϵ1​(−ϵ2)→1。即当每次移动的角度足够小的时候，上述测量过程会把状态∣0⟩|0\rangle∣0⟩变成∣1⟩|1\rangle∣1⟩。

或者用另一种思路，假设最后的结果不是∣1⟩|1\rangle∣1⟩，这个事件可以用1ϵ\frac{1}{\epsilon}ϵ1​个事件，即第iii次测量的结果不是∣v⟩|v\rangle∣v⟩来取Union bound，则这个概率约等于1ϵ×ϵ2=ϵ\frac{1}{\epsilon}\times\epsilon^2=\epsilonϵ1​×ϵ2=ϵ，当ϵ\epsilonϵ足够小的时候，这种事可以认为不会发生。

2.3 “你瞅我干啥”效应 (Watched pot effect)

跟上述芝诺效应的分析过程类似，我们可以通过不断的测量来把可能发生漂移的量子比特保持在∣0⟩,∣1⟩|0\rangle, |1\rangle∣0⟩,∣1⟩的状态上，所以效果就是，我如果老是看你，你就不敢动，我要是不看你，你就更可能溜了，要遇上东北老爷们可能你一瞅就跟你干一架，这都是有量子的原因的[\狗头]。

3 量子电路 (Quantum circuit)

上述量子门和测量的过程，可以用量子电路的方式形像的表达，就是用一些图形符号。

比如以下量子电路：

其代表的操作为

即先用HHH门把第一个比特从∣0⟩|0\rangle∣0⟩变成∣+⟩|+\rangle∣+⟩，然后用CNOT\text{CNOT}CNOT门，在第一个量子比特为1的时候反转第二个量子比特，这样我们就从量子态∣00⟩|00\rangle∣00⟩得到了纠缠的Bell Pair。

测量的电路符号如下所示，就是个表盘的标志：

量子电路可以方便的表达多比特的门操作与测量。

4 门与测量

门与测量的性质截然相反，如下所示：

4.1 门(酉变换)的三个性质

1. 可逆(Invertible): 这因为门是酉变换(Unitary transformation)，其保持二范数不变，且总有逆矩阵U−1=U†U^{-1}=U^{\dagger}U−1=U†
2. 确定(Deterministic): 因为没有任何概率的东西牵扯尽来
3. 连续(Continuous): 酉变换的矩阵可以无限分，因为是复数矩阵

4.2 测量的三个性质

1. 不可逆(Irreversible): 现在不测量，可能下一秒信息就变了
2. 不确定(Probabilistic): 测量结果是随机的
3. 不连续(Discontinuous): 坍塌的过程目前认为是一瞬间发生的，我们无法捕捉

4.3 门(酉变换)与测量

酉变换和测量的矛盾，被称为测量问题 (Measurement Problem)。但是比较好的是，酉变换保持二范数不变，而测量的概率是用概率幅(Amplitude)的平方计算的。

5 小结

这次我们学习了量子门(酉变换)和测量的基本知识，科学家们实在是聪明，用数学来表达这些量子的现象。接下来就要进入更加精彩的量子世界啦，敬请期待！

附录：一些量子门的例子

图片来自https://www.scottaaronson.com/

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