量子计算 19 量子算法4 Shor Part I

1 从质数分解到周期寻找
- 定义modular exponential function即模幂函数: f ( r ) = x r mod N f(r)=x^r \text{mod }N f(r)=xrmod N
- 定理：如果能找到模幂函数则可以有效率的分解 N = p q N=pq N=pq
2 周期变换量子电路

上回书简要介绍了数论基础、RSA加密算法和Shor算法基本流程，回顾下Shor算法的基本流程：

第一步，把质数分解问题，转化为周期寻找问题，这一步Shor认为是显然的，当然我们不会这么认为。。。
第二步，通过量子傅里叶变换QFT，以 O ( 1 ) O(1) O(1)查询复杂度解决周期寻找问题
第三步，建立QFT的量子电路，用 n O ( 1 ) = log ⁡ n O ( 1 ) n^{O(1)}=\log n^{O(1)} nO(1)=lognO(1)个量子门
第四步，把冰箱门关上，用Continued Fraction Algorithm把QFT的输出变成质数分解的结果，然后大象就装冰箱里了

今天我们就来看第一步，如何将质数分解转化为周期寻找问题，及其量子电路，从而引出下回书的量子傅里叶变换。

1 从质数分解到周期寻找

N = p q N=pq N=pq是我们要进行质数分解的数， n = ⌈ log ⁡ 2 N ⌉ n=\lceil \log_2N \rceil n=⌈log2N⌉

挑选任意 x ∈ Z N x x\in\mathbb{Z}_N^x x∈ZNx，即比 N N N小且与 N N N互质的数。

定义modular exponential function即模幂函数: f ( r ) = x r mod N f(r)=x^r \text{mod }N f(r)=xrmod N

这个函数是我们讨论Shor算法的核心；该函数是周期函数，因为Euler’s Identity知道 x ϕ ( N ) = 1 mod N x^{\phi(N)}= 1 \text{ mod }N xϕ(N)=1 mod N，且周期 s s s一定可以整除 ϕ ( N ) \phi(N) ϕ(N)；根据上回书讲的repeated squaring算法， f ( r ) f(r) f(r)的计算是很高效的。

定理：如果能找到模幂函数则可以有效率的分解 N = p q N=pq N=pq

假设我们找到了周期 s s s： f ( r ) = f ( r + s ) f(r)=f(r+s) f(r)=f(r+s)

则： x r ≡ x r + s ( Mod N ) → x s ≡ 1 ( Mod N ) → x s − 1 ≡ 0 ( Mod N ) x^r\equiv x^{r+s} (\text{Mod N})\rightarrow x^s\equiv 1 (\text{Mod N})\rightarrow x^s-1\equiv0(\text{Mod N}) xr≡xr+s(Mod N)→xs≡1(Mod N)→xs−1≡0(Mod N)

假设我们lucky了一次，即s是偶数，这是完全可能的因为我们的x也是随机挑选的，则可以得到：
( x s / 2 − 1 ) ( x s / 2 + 1 ) ≡ 0 ( Mod N ) (x^{s/2}-1)(x^{s/2}+1)\equiv 0 (\text{Mod N}) (xs/2−1)(xs/2+1)≡0(Mod N)

假设我们lucky了第二次，即 ( x s / 2 − 1 ) (x^{s/2}-1) (xs/2−1)和 ( x s / 2 + 1 ) (x^{s/2}+1) (xs/2+1)都不是 N N N的倍数，这样的话，就只能是 ( x s / 2 − 1 ) (x^{s/2}-1) (xs/2−1)和 ( x s / 2 + 1 ) (x^{s/2}+1) (xs/2+1)分别包含了 N = p q N=pq N=pq中的 p p p和 q q q了，因此计算下面的式子，就可以得到 p , q p,q p,q！
gcd ⁡ ( x s / 2 + 1 mod N , N ) \gcd(x^{s/2}+1 \text{ mod }N,N) gcd(xs/2+1 mod N,N) gcd ⁡ ( x s / 2 − 1 mod N , N ) \gcd(x^{s/2}-1 \text{ mod }N,N) gcd(xs/2−1 mod N,N) 这个过程中用的计算就是上回书讲的repeated squaring和Euclid的公约数算法，都是多项式时间的算法。

这里关于能获得lucky两次的x的数量，最少有3/8，这里不做进一步证明，因此只需要随机试算x就总能两次lucky的。

2 周期变换量子电路

既然周期寻找算法可以有效的解决质数分解，那就来看看计算周期寻找算法的量子电路。

给定一个周期函数 f : { 0 , … , Q − 1 } → Z f: \{0,\dots,Q-1\}\rightarrow \mathbb Z f:{0,…,Q−1}→Z，通过让 Q = 2 q Q=2^q Q=2q大概是 1000 N 2 1000N^2 1000N2，使得其周期 s < < Q s<<\sqrt Q s<<Q ，下一步目标即找到 s s s

跟量子计算17中的Simon量子电路有点像(其实本来就是在那个基础上发展的)，其量子电路如图：

第一步，先对前 q q q个 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩ qubit进行Hadamard操作，这相当于创建了 2 q 2^q 2q个相同量子幅的 q q q-qubit的叠加，这些 q q q-qubit用整数来表达，其范围为 0 ∼ 2 q − 1 0 \sim 2^q-1 0∼2q−1，由此得到： 1 Q ∑ r = 0 Q − 1 ∣ r ⟩ ∣ 0 ⟩ q \frac{1}{\sqrt{Q}}\sum_{r=0}^{Q-1}|r\rangle|0\rangle^q Q 1r=0∑Q−1∣r⟩∣0⟩q
第二步，进行XOR-query，即进行操作 U f ( ∣ r ⟩ , ∣ 0 ⟩ q ) = ∣ r , ∣ 0 ⟩ q ⊕ f ( r ) ⟩ = ∣ r , f ( r ) ⟩ U_f(|r\rangle,|0\rangle^q)=|r,|0\rangle^q\oplus f(r)\rangle=|r,f(r)\rangle Uf(∣r⟩,∣0⟩q)=∣r,∣0⟩q⊕f(r)⟩=∣r,f(r)⟩
第三步，测量后面的 f ( r ) f(r) f(r)，根据类似于量子计算17中Simon算法的分析， f ( r ) f(r) f(r)的值被观测到之后， ∣ r ⟩ |r\rangle ∣r⟩的状态，也只剩下 f ( r ) f(r) f(r)相同的部分，即如下的叠加态： ∣ r ⟩ + ∣ r + s ⟩ + ⋯ + ∣ r + ( L − 1 ) s ⟩ L \frac{|r\rangle+|r+s\rangle+\dots+|r+(L-1)s\rangle}{\sqrt L} L ∣r⟩+∣r+s⟩+⋯+∣r+(L−1)s⟩ 其中 L ≈ Q / s L\approx Q/s L≈Q/s
第四步，也像是Simon算法中用了Hadamard门来同时获取有用的信息，这里就没这么简单了，要用到QFT操作，这个下回书再看~

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