量子计算与量子软件(一)

量子计算与量子软件

摩尔定律
量子计算的起源
量子计算的公理
Qubit
最小的酉变化——量子门
量子测量
量子缠绕
不可克隆理论
量子算法
量子的线性性
量子计算的成就

本文的内容来自清华大学魏教授的讲座内容，内容主要涵盖量子计算与量子软件的介绍。

摩尔定律

根据摩尔定律，集成电路上可容纳的晶体管数目，约每隔两年便会增加一倍。目前计算机设备的尺寸越来越小，尤其是晶体管已经小到了不能再小的程度了。

现在这个尺寸，经典物理已经不适用于研究接下来的模型。

因此，量子计算就被寄予厚望。

量子计算的起源

1982年，费曼提出，能否使用量子计算机直接进行计算呢？这也是量子计算的萌芽开始。

量子计算建立在量子力学的规律之上，这也导致了与现在的电子计算机存在不同的实现，不同的特征，包括表示，存储，计算，转换等。

量子计算的公理

为了信息处理，量子计算存在四条公理。

一个量子系统可以用状态向量表示，所有的向量都处在对应的希尔伯特空间之中。
量子系统的变化是由酉变换来进化的，如线性操作。一个时间点到另一个时间点状态的变化是由酉变换决定的。
测量一个量子状态，结果是随机的。 每个结果出现的概率是可以计算的，测量之后系统的状态是会改变的。
不同的系统合在一起，整体的状态通过tensor Product来得出。这种操作会让系统指数膨胀。

Qubit

最小的量子系统叫Qubit，这是一个两维的系统。

对于字节，可以是0和1。
对于qubit，它存在两个状态，0或1，是哪个状态是随机的。这种线性叠加是叠加态。如果有n个qubit，整体的维度就是2的n次方。整体的状态就是2的n次方基态的叠加态。

酉变换对于一个量子态是线性的，叠加态是两个状态的线性组合，酉变换会同时对两个状态进行变化。这就是线性性质。

如果我们测量这个qubit，得到0的概率为a方，得到1的概率是1方。测量之后这个qubit就会保持这种状态——量子坍塌。 这对计算会有很大的影响。

最小的酉变化——量子门

U+是u的转置共轭，乘积的结果为单位矩阵。

举个例子，对左边的量子系统进行酉变化，得到两个新的系统，产生的结果就是下面计算的式子。

量子测量

测量的结果是随机，经典的随机可能是明天是天气有60%的下雨，但这种随机是由于信息的不完整，因为可能随着科技的发达，就可以更加准确地预测明天下雨的概率。

但量子测量，即使你有所有的信息，测量也是随机的，这是一种本质的随机。

如果测量结果什么也得不到，这个时候就不会打扰。

经典世界里我们已经知道它要么是1要么是0，我们不会打扰它，因此这两个世界并不存在矛盾。

如果两个量子态不是正交的，是无法完全分辨的。

量子缠绕

量子系统的状态可以通过刚刚介绍的tensor product来获得。

但是对于一些特殊的状态，通过计算是无法获得的。如下：
但这个量子状态是存在的。这就是量子计算的一个关键因素。

量子纠缠是至关重要的特点，因为这个特点用经典计算机无法模拟得出。

不可克隆理论

经典世界里垂直即可克隆。
我们分别假设|Ψ>分别为|0>, |1>, |0> + |1>，从而得到矛盾。
这说明这三个状态并不垂直。

一个东西不可克隆，这个特点可以应用于货币。

量子算法

量子计算中存在电路，中间是很多量子门组成的量子电路。

量子的线性性

如果我们对其中一个基态完成计算的话，它会同时对其他所有基态一次过。这是天生的并行性，这也是量子计算特有的特性。

但是我们总需要进行测量，当进行测量的时候不可能得到所有的结果。

一个想法：我们试图抽出一些叠加态中global的信息。比如一个函数的周期，需要算很多value才能看到一个pattern。

Shor’s 算法 - 分解大质数因子

1994的工作， Shor’s 算法的cost只有n方。

在2024年，如果我们分解2048bit的数字，经典计算机需要一万亿年，而量子计算机只需要用36分钟。

量子计算的成就

Google 19 年的计算机，3min相当于超级计算机计算10000年的计算量。
九章 20 年的量子计算机， 3min相当于超级计算机计算6亿年的计算量。

但是量子计算的应用仍然有很大空白。

目前有很多研究和应用主要集中在以下领域：

如机器学习，量子计算可以进行线性方程求解，或是通过量子电路模拟神经网络。

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