定理

三角形的三条中线交于一点。

证明过程

用初中基础知识进行证明。

已知：

△ABC\triangle ABC△ABC中，F为BC的中点，E位AC的中点。AF，BE交于点G，直线CG交AB于D。

求证：AD=BDAD=BDAD=BD。

证明：连接EF，交CD于H。

∵BF=CF,AE=CE,\because BF=CF, AE=CE,∵BF=CF,AE=CE,

∴EF//AB,且EF=12AB.\therefore EF \ /\kern -0.8em/ \ AB,\ \ 且\ EF = \frac{1}{2}AB.∴EF // AB, 且 EF=21AB. (连接三角形两个中点的线段平行于第三边)

∴△EFG∽△BAG\therefore \triangle EFG\backsim \triangle BAG∴△EFG∽△BAG

∴FG=12AG\therefore FG = \frac{1}{2}AG∴FG=21AG

同样 ∵FH//AD\because FH \ /\kern -0.8em/ \ AD∵FH // AD，∴△FGH∽△AGD\therefore \triangle FGH \backsim \triangle AGD∴△FGH∽△AGD

∴FH=12AD(1)\therefore FH = \frac{1}{2}AD \tag{1}∴FH=21AD(1)

△CBD\triangle CBD△CBD 中，F为CB中点，且 FH//BD，∴FH \ /\kern -0.8em/ \ BD， \thereforeFH // BD，∴

FH=12BD(2)FH = \frac{1}{2} BD \tag{2}FH=21BD(2)

结合(1)式和(2)式可得

AD=BDAD = BDAD=BD

证毕。

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