定理

三角形的三条垂线交于一点。

证明过程

已知： △ A B C \triangle ABC △ABC中， A D ⊥ B C , B E ⊥ A C , C F ⊥ A B AD\perp BC, BE \perp AC, CF \perp AB AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB。

求证： A D , B E , C F AD, BE, CF AD,BE,CF 交于一点。

证明：过点A，B，C作直线分别平行于BC，AC，AB。三条平行直线分别交于点M，N，P，如上图所示。

易知四边形AMBC为平行四边形。

∴ A M = B C (1) \therefore AM = BC \tag{1} ∴AM=BC(1),

同理四边形ANCB也为平行四边形，

∴ B C = A N (2) \therefore BC = AN \tag{2} ∴BC=AN(2)

综合(1)式和(2)式可得

∴ A M = A N (3) \therefore AM = AN\tag{3} ∴AM=AN(3)

又 ∵ A D ⊥ B C , M N / / B C , ∴ \because AD \perp BC, MN // BC, \therefore ∵AD⊥BC,MN//BC,∴

∴ A D ⊥ M N (4) \therefore AD \perp MN \tag{4} ∴AD⊥MN(4)

综合(3)式和(4)式可得AD垂直平分MN。

同理可证BE垂直平分MP，CF垂直平分PN。

即AD，BE，CF分别为 △ M N P \triangle MNP △MNP的中垂线， ∴ 三者交于一点 \therefore三者交于一点 ∴三者交于一点。

证毕。

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