机器学习所需要的数学基础知识---矩阵(1)

机器学习所需要的数学基础知识—矩阵(1)

本系列文章为机器学习所需要的数学基础知识，在机器学习文章中如需要，会给出本系列文章的链接，如有问题欢迎给我留言。数学公式使用Letex编辑，原文博客http://blog.csdn.net/rosetta

A∈Rm∗nA\in \mathbb{R}^{m*n}A∈Rm∗n表示m行n列的矩阵A，矩阵中的每个元素都是实数。
x∈Rnx\in \mathbb{R}^{n}x∈Rn表示n维向量。通常，n维向量可用n行1列的矩阵表示，这叫做列向量。记作α=⟮x1x2⋮xn⟯\alpha=\left\lgroup\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right\rgroupα=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1x2⋮xn⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫ 如果想表示的简单的可使用行向量，比如用α=⟮x1x2⋮xn⟯=(x1,x2,…,xn)T\alpha=\left\lgroup\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right\rgroup=(x_1,x_2,\dots,x_n)^Tα=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1x2⋮xn⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫=(x1,x2,…,xn)T
使用aija_{ij}aij（或者AijA_{ij}Aij、Ai,jA_{i,j}Ai,j）表示矩阵AAA的第iii行，第jjj列那一项。A=⟮a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn⟯A=\left\lgroup\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{array}\right\rgroupA=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧a11a21⋮am1a12a22⋮am2……⋱…a1na2n⋮amn⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫
使用aja_{j}aj或A:,jA_{:,j}A:,j表示矩阵A的第j列A=⟮∣∣∣a1a2…an∣∣∣⟯A=\left\lgroup\begin{array}{ccc} \mid & \mid & &\mid \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n}\\ \mid & \mid & & \mid \end{array}\right\rgroupA=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧∣a1∣∣a2∣…∣an∣⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎫
使用aiTa^{T}_{i}aiT或AiA_iAi表示矩阵A的第i行
A=⟮−a1T−−a2T−⋮−a2T−⟯A=\left\lgroup\begin{array}{ccc} - & a^{T}_{1} & - \\ -& a^{T}_{2} & - \\ & \vdots\ & \\ -& a^{T}_{2} & - \\ \end{array}\right\rgroupA=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−−−a1Ta2T⋮ a2T−−−⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫

补充下向量的概念
n个有序的数a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_na1,a2,…,an所组成的数组(a1,a2,…,an)(a_1,a_2,\dots,a_n)(a1,a2,…,an)称为n维向量，简称向量。使用矩阵表示向量α\alphaα记为α=⟮a1a2⋮an⟯\alpha=\left\lgroup\begin{array}{ccc} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right\rgroupα=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧a1a2⋮an⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫
或者αT=⟮a1a2…an⟯{\alpha}^T=\lgroup\begin{array}{ccc} a_1 a_2 \dots a_n \end{array}\rgroupαT=⟮a1a2…an⟯

参考文献

斯坦福大学吴恩达老师cs229公开课视频
css299课后配套知识Section notes 1 (pdf) Linear Algebra Review and Reference

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