在文章之前，首先说明，笔者初三，数学水平相当有限，如文章中有不足之处，望各位指出，自当感激不尽。

这里开门见山，介绍三角形中线交于一点的多种证明方法.本意是为各位读者打开思路

1.相似法

我们做出中线HF，EI交于点L，连FI，延长JL交FI，EH于K，G，现在证明：JG是三角形JEH的中线.

证明：首先三角形ELH相似于三角形ILF，且相似比为2:1，于是有EL：IL等于2:1，由三角形EGL相似于三角形IKL，故EG：IK等于EL：IL等于2:1，又HG：IK等于EG ：IK等于2:1，故EG等于HG，命题得证.

在这里补充一个小结论，如图，当FI平行于EH时，G也是EH的中点.证明方法类似于上叙述证明.读者可自证.记得钱塘甬真重高里面有这个结论的例题来着，但忘记是第几页了（可能是我记忆力不大好哈哈哈）

2.塞瓦法

如图任意三角形ACE，AD，CF，EB是三角形ACE的三条中线，现证明：三角形ACE的三条中线交于一点

对于三角形ACE应用塞瓦定理，CD／DE乘FE／FA乘BA／BC等于1，由塞瓦定理逆定理可知三线交于一点，因此三角形的三条中线交于一点，命题得证.

在这里证明一下塞瓦定理

当AD，CF，EB交于一点时，令交点为Q，则CD/DE等于S三角形ACQ/S三角形AEQ同理可知EF/FA等于S三角形QCE/S三角形QCA，AB/BC等于S三角形AEQ/S三角形CEQ，三式相乘即可证明塞瓦定理，即：在三角形ABC中，Q为三角形ABC内一点，若AD，CF，EB三线共点且交于点Q，有CD/DE✖️EF/FA✖️AB/BC等于1

另外塞瓦定理的逆定理也成立，可用同一法证得，请读者自证

3.向量法

这里我们做出三角形ACE的中线CF，AD交于G取AC中点B，连EB，EG，现证明：C，G，Ｆ三点共线

证明：向量FG等于向量EA加向量AG等于向量EA加三分之二向量AD，等于向量EA加三分之一向量AC与向量AE的和，等于三分之一向量CA加向量CB的和，而向量CF等于二分之一向量CA加向量CB的和，因此向量CF等于二分之三倍的向量CG，故C，G，Ｆ三点共线，命题得证.

4.面积法

有三角形ACE和它的中线CF，AD交于G，延长EG交AC于B，现证明：EG是三角形ACE的中线

证明令三角形AFG的面积等于三角形EFG的面积等于S1，三角形GDE的面积等于三角形GDC的面积等于S2，由三角形ACG的面积等于三角形AEG等于2S1，同时三角形ACG的面积等于三角形CGE的面积等于2S2，因此S1等于S2，故三角形AGE的面积等于三角形CEG，因此点B是AC的中点，命题得证.

5.解析法

现有三角形ABC，D，Ｅ是AC，AB的中点，BD，CE交于点Ｆ，现证明：AF的延长线交BC于点G为BC的中点

令点A的坐标为（Xa，Ya），点C的坐标为（Xc，0），则点Ｅ的坐标为（1／2Xa，1/2Ya），点D的坐标为（1/2（Xa➕Xc），1/2Ya） 联立直线BD，CF可得Ｆ(1/3(Xa ➕Xc），1/3Ya）求出直线AF的解析式，令Y等于0,可得Xg等于1/2Xc,故命题得证.

6.梅涅劳斯法

如图，三角形ABC，Ｅ，D，G是BC，AC，AB上的中点，BD，AE交于点F，延长GF交BC或BC延长线于c,现证明：c与C共点

证明：对三角形ABE及截线GFc应用梅涅劳斯定理，GA/GB✖️cE/cB✖️FA/FE等于1可推知Bc等于2BE，由此可知c与C重合，命题得证

在这里证明一下梅涅劳斯定理

过点Ｅ做cG的平行线，交AB于J，由三角形相似可得cB/cＥ等于BG/JG，EF/FA等于JG/AG，因此GA/GB✖️cB/cＥ✖️FA/FE等于GA/GB✖️BG/JG✖️JG/AG等于1

梅涅劳斯定理：在三角形ABC的边AB，AC，BC上有G，Ｆ，c三点，当三点共线时，有：GA/GB✖️cB/cＥ✖️FA/FE等于一

另外梅涅劳斯定理的逆定理也成立，可用同一法来证明，这里请读者自证.

最后再声明一下这是作者的第一篇文章，如有不当还望海涵.码字不易啊………………还望各位点个赞，作者没有功劳也有苦劳，另外这篇文章只是为各位拓展一下三角形中线交于一点这个命题的思路，如果还有什么好方法望指出，作者也会在评论里回复并补充，这篇文章就到这了.谢谢读者们—拉格朗日的死忠粉