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综合了自己在网上看到的众多博客，多种多样，肯定有很多问题，欢迎各位Dalao指出

网络流的相关概念

流网络(flow network)

流网络G=(V,E)G=(V, E)G=(V,E)是一个有向图，其中每条边(u,v)(u,v)(u,v)均有一非负容量c(u,v)≥0c(u, v)≥0c(u,v)≥0
流网络中有两个特殊的顶点: 源点s和汇点t
假定每个顶点都处于从源点到汇点的某条路径上，就是说，对每个顶点v，存在一条路径s→v→ts→v→ts→v→t
GGG为连通图，且∣E∣≥∣V∣−1|E| ≥|V|-1∣E∣≥∣V∣−1

流(flow)

边的流是一个实值函数f，满足下列三个性质：
容量限制：对所有u,v∈Vu,v∈Vu,v∈V，要求f(u,v)≤c(u,v)f(u, v) ≤c(u, v)f(u,v)≤c(u,v)
理解：流量不会超过边的容量
斜对称性：对所有u,v∈Vu,v∈Vu,v∈V，要求f(u,v)=−f(v,u)f(u, v) = -f(v, u)f(u,v)=−f(v,u)
理解：一个方向的流是其反方向流的相反数。这是完善的网络流理论
不可缺少的，像用正负数来定义物理量一样。
流守恒性：对所有u,v∈V−s,tu,v∈V-{s, t}u,v∈V−s,t，要求∑vf(u,v)−∑wf(w,u)=0\sum_vf(u,v)-\sum_wf(w,u)=0∑vf(u,v)−∑wf(w,u)=0
理解：进入点u的总流量=离开点u的总流量

每条边上斜线前的数字是流量，后的数字是容量

网络的流

网络的流定义为f=∑f(s,v)f=\sum f(s,v)f=∑f(s,v)
即，从源点s出发的总流

最大流问题就是给出一个源点和汇点的流网络，希望找到从源点到汇点的最大值流

规定f(u,v)f(u,v)f(u,v)和f(v,u)f(v,u)f(v,u)最多只有一个正数（可以均为0）。若两个均为正数，可以消减一个
方向的流量
举个栗子：u给v三个苹果，v如果又给u三个苹果，那就相当于彼此之间没有给过苹果；u给v三个苹果，v给u五个苹果，就相当于v给u两个苹果。也就是说流如果都是正数，是可以相互抵消，达成协议的

残留网络(residual network)

边的残留容量：r(u,v)=c(u,v)−f(u,v)r(u,v)=c(u,v)-f(u,v)r(u,v)=c(u,v)−f(u,v)
残留网络一句话就是残留边所构成的一个网络流，且每条边的容量是严格为正的，即当0<f(u,v)<c(u,v)=>r(u,v)=c(u,v)−f(u,v)>00<f(u,v)<c(u,v)=>r(u,v)=c(u,v)-f(u,v)>00<f(u,v)<c(u,v)=>r(u,v)=c(u,v)−f(u,v)>0，这条边(u,v)(u,v)(u,v)仍在残留网络中

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