1.层次分析法(The analytic hierarchy process, AHP)

1.1 层次分析法模型部分

建模比赛最基础模型之一，主要解决评价类问题（eg.选择哪种方案好、哪位运动员或者员工表现得更优秀）

1.1.1 层次分析法中的数学问题

①Web for searching theses：

https://search.chongbuluo.com/

②层次分析法中的判断矩阵

又称为正互反矩阵

Definition：
记填写的表格为A，表中每一项元素记为a_ij，该方阵有如下特点：
（1）a_ij表示的意义是，与指标j相比，i的重要程度；
（2）当i=j时，两指标相同，因此同等重要，记为1，这也就解释了主对角线元素为1；
（3）a_ij>0且满足a_ij*a_ji=1。
则称该方阵为判断矩阵

上述所说的判断两项之间关系的表格:

关系表格	第一项	第二项	第三项	第四项
第一项	1	a₁₂	a₁₃	a₁₄
第二项	a₂₁	1	a₂₃	a₂₄
第三项	a₃₁	a₃₂	1	a₃₄
第四项	a₄₁	a₄₂	a₄₃	1

ATTENTION：在使用判断矩阵求权重前，必须对其进行一致性检验

③一致矩阵

Definition：
若矩阵中每个元素a_ij>0，且满足a_ij*a_ji=1，则我们称该矩阵为正互反矩阵
在层次分析法中，我们构造的判断矩阵是正互反矩阵
若正互反矩阵满足a_ij*a_jk=a_ik，则我们称其为一直矩阵

一致矩阵的特点：每行（列）都是成比例的

④一致性检验

检验构造的判断矩阵与一致矩阵之间是否有太大的差别

方阵A为一致矩阵的充要条件：（1）a_ij>0;(2)a₁₁=a₂₂=…=a_nn=1;(3)[a_i1,a_i2,…,a_in]=k_i[a₁₁,a₁₂,…,a_1n]

引理：A为n阶方阵，且r（A）=1，则A有一个特征值为tr（A），其余特征值均为0

因为一致矩阵的各行成比例，所以一致矩阵的秩为1
由引理可知：一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0

另外，当特征值为n时，对应的特征向量刚好为 k [ 1 a 11 , 1 a 12 , . . . , 1 a 1 n ] T ( k ≠ 0 ) k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}},...,\frac{1}{a_{1n}}]^T(k\not=0) k[a111,a121,...,a1n1]T(k=0)

若正互反矩阵（判断矩阵）满足a_ij*a_jk=a_ik,则我们称其为一致矩阵

引理：n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值 λ m a x = n \lambda_{max}=n λmax=n；且当正互反矩阵A非一致时，一定满足 λ m a x < n \lambda_{max}<n λmax<n

判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差越大

一致性检验的步骤：

Step1：计算一致性指标CI

C I = λ m a x − n n − 1 CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1} CI=n−1λmax−n

Step2：查找对应的平均随机一致性指标RI

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

Step3：计算一致性比例CR

C R = C I R I CR=\frac{CI}{RI} CR=RICI

如果CR<0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正

CR>1的修正：往一致矩阵上调整，即各行成倍数关系

⑤计算权重

判断矩阵：

关系表格	第一项	第二项	第三项	第四项
第一项	1	a₁₂	a₁₃	a₁₄
第二项	a₂₁	1	a₂₃	a₂₄
第三项	a₃₁	a₃₂	1	a₃₄
第四项	a₄₁	a₄₂	a₄₃	1

用第一列数据计算权重：

第一项： 1 ( 1 + a 21 + a 31 + a 41 ) \frac{1}{(1+a_{21}+a_{31}+a_{41})} (1+a21+a31+a41)1

第二项： a 21 ( 1 + a 21 + a 31 + a 41 ) \frac{a_{21}}{(1+a_{21}+a_{31}+a_{41})} (1+a21+a31+a41)a21

第三项： a 31 ( 1 + a 21 + a 31 + a 41 ) \frac{a_{31}}{(1+a_{21}+a_{31}+a_{41})} (1+a21+a31+a41)a31

第四项： a 41 ( 1 + a 21 + a 31 + a 41 ) \frac{a_{41}}{(1+a_{21}+a_{31}+a_{41})} (1+a21+a31+a41)a41

同理用第二列、第三列、第四列可以分别算出各项的权重

Plan1：算术平均法求权重

由上述四列分别为四个项求出了四个权重，将四个权重进行算术平均得到最后的权重数值

Step1：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和

Step2：将归一化的各列相加（按行求和）

Step3：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

假设判断矩阵 A = a i j A=a_{ij} A=aij,

权重向量 ω i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j ( i = 1 , 2 , . . . , n ) \omega_{i}= \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^{n}a_{kj}}(i=1,2,...,n) ωi=n1∑j=1n∑k=1nakjaij(i=1,2,...,n)

Plan2：几何平均求权重

Step1：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

Step2：将显得向量的每个分量开n次方

Step3：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

假设判断矩阵 A = a i j A=a_{ij} A=aij,

权重向量 ω i = ( ∏ j = 1 n a i j ) 1 n ∑ k = 1 n ( ∏ j = 1 n a k j ) 1 n , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) \omega_{i}=\frac{(\prod_{j=1}^{n}a_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^{n}(\prod_{j=1}^{n}a_{kj})^{\frac{1}{n}}},(i=1,2,...,n) ωi=∑k=1n(∏j=1nakj)n1(∏j=1naij)n1,(i=1,2,...,n)

Plan3：特征值法求权重

一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0

这一特征向量刚好就是一致矩阵的第一列

Step1：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量

Step2：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

将计算结果填入权重表

权重表	算术平均法	几何平均法	特征值法
第一项
第二项
第三项
第四项

ATTENTION:一般只保留特征值法的权重,但是比赛最好都写上

⑥计算得分

可以使用Excel表格计算加权平均数

Excel中F4可以锁定单元格，计算多个得分是较为方便

1.1.2 层次分析法的思想

解决评价类问题提出的三个问题：

1.我们评价的目标是什么
2.我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案
3.评价的标准或者说指标是什么

1.1.3 层次分析法的步骤

Step1 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构（即1.1.2中提到的三个问题）

层次结构图：目标层（Objective）、准则层（Criterion）、方案层（Plan）

层次结构图的制作：

①文档自带软件（SmartArt）生成：

开始 -> 提高列表等级 -> 全部选中 -> 右键点击”转换为SmartArt（M）“

②专业软件（以亿图图示为例）生成

ATTENTION：这个层次结构图非常重要，要放到建模论文中

Step2 构造判断矩阵

O-C判断矩阵：判断目标和各个准则之间的关系

O	C1	C2	C3
C1
C2
C3

C-P判断矩阵：用来填写O-C判断矩阵

C	P1	P2	P3
P1
P2
P3

Step3 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验

ATTENTION：比赛中推荐三种计算权重的方法都要使用，并在论文中注明

eg.为保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重，再根据得到的权重矩阵计算个方案的得分。并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效

Step4 计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序

权重矩阵	指标权重	方案1	方案2	…
指标1
指标2
…

1.1.4层次分析法的局限性

①评价的决策层不能太多，太多则n很大，判断矩阵和一致矩阵的差异可能很大

平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15

②当决策层的数据已知，则判断矩阵一定，因此该情况不能使用AHP

1.2 层析分析法代码讲解