6.1.3一阶线性常微分方程的线性、齐次与通解公式

6.1.3节的内容理解与补充¹
以下一律讨论常微分方程，一般形式¹

y′+g(x)y=h(x)(1)y'+g(x)y=h(x) \tag{1} y′+g(x)y=h(x)(1)
《数值分析》¹中为了解这个方程，搞了个积分因子，但过于省略。于是自己网上查了查通解公式怎么来的，顺便弄清楚了常微分方程的线性和齐次是啥。

一、一阶

就是最高只有y的一阶导数

二、线性²

^{2.1 线性系统}

^{线性系统 y=H(x) 的性质可以从经典的正比例函数y=kx的角度去感觉。

a. 输入x乘以某个数，则输出y也乘以某个数。这个性质被称为：

齐次性：

H(x+x)=H(x)+H(x)H(x+x)=H(x)+H(x) H(x+x)=H(x)+H(x)

b. 两个x1和x2的和的输入，等于输入的和，这个性质被称为：

可加性：

H(x1+x2)=H(x1)+H(x2)H(x1+x2)=H(x1)+H(x2) H(x1+x2)=H(x1)+H(x2)

可加性和齐次性合在一起就成了，最常见的，描述线性系统的公式：

H(ax1+bx2)=aH(x1)+b(x2)H(ax1+bx2)=aH(x1)+b(x2) H(ax1+bx2)=aH(x1)+b(x2)}

^{2.2 常微分方程的线性}

^{上面说的系统，对于常微分方程来说，是对y的所有操作。

在(1)式中就是等式的左边部分，具体的操作输出了导数和原函数的一个加权和。

H(y)=y′+g(x)y(2.2.1)H(y)=y'+g(x)y\tag{2.2.1} H(y)=y′+g(x)y(2.2.1)

我们看下线性系统的两个性质的体现：

齐次性：

H(2y)=(2y)′+g(x)(2y)=2H(y)H(2y)=(2y)'+g(x)(2y)=2H(y) H(2y)=(2y)′+g(x)(2y)=2H(y)

可加性：

H(y1+y2)=(y1+y2)′+g(x)(y1+y2)=y1′+g(x)y1+y2+g(x)y1=H(y1)+H(y2)H(y_{1}+y_{2})=(y_{1}+y_{2})'+g(x)(y_{1}+y_{2})=y_{1}'+g(x)y_{1}+y_{2}+g(x)y_{1}=H(y_{1})+H(y_{2}) H(y1+y2)=(y1+y2)′+g(x)(y1+y2)=y1′+g(x)y1+y2+g(x)y1=H(y1)+H(y2)

举一个非线性的例子，很容易想到y^2

H(y)=y′+y2H(y)=y'+y^{2} H(y)=y′+y2

则

H(2y)=2y′+4y2≠2y′+2y2=2H(y)H(2y)=2y'+4y^{2}\neq2y'+2y^{2}=2H(y) H(2y)=2y′+4y2=2y′+2y2=2H(y)}

^{三、齐次³}

^{上面一小节已经提到了一次齐次性了，齐次就是数乘不变。

上面提到的是微分操作的数乘不变性。而齐次微分方程的齐次，是指解的齐次不变性。也就是指方程的解，数乘之后还是该方程的解。

比如方程对(1)式取g(x)=-1, h(x)=0，则方程为:

y′−y=0y'-y=0 y′−y=0

则y=exp(x)是方程的解，同样a·y也是方程的解（a为任意常数）

(aex)′−aex=0(ae^{x})'-ae^{x}=0 (aex)′−aex=0

但如果h(x)取非0，方程就不是齐次的了。这和2.1节开头提到的正比例函数是y=kx的解是齐次的，但一次函数y=kx+c（c≠0）的解不再齐次十分类似}

^{四、一阶线性方程的解法⁴}

^{4.1 一阶线性齐次方程：}

^{以第三节的例子为例，一阶线性齐次方程可以用分离变量法，获得解析解。

y′+g(x)y=0(4.1.1)y'+g(x)y=0 \tag{4.1.1} y′+g(x)y=0(4.1.1)

解为

y=Ce−∫g(x)dx(4.1.2)y=Ce^{-\int_{}^{}g(x)dx}\tag{4.1.2} y=Ce−∫g(x)dx(4.1.2)}

^{4.2 一阶线性非齐次方程：}

^{就像化学式配平一样，对于一阶线性非齐次的方程

y′+g(x)y=h(x)(4.2.1)y'+g(x)y=h(x) \tag{4.2.1} y′+g(x)y=h(x)(4.2.1)

齐次方程的解已经足够y守恒了，现在要配出一个h(x)，并且配的时候不影响y的守恒。

那么会看第三章对齐次的定义，也就是数乘不变，我们可以对式(4.1.2)乘一个x或者含有x的函数u(x)，来尝试作为非齐次方程(4.2.1)的解。这样是不影响y的守恒的，因为如果仅仅把y看做未知数（这也是应该的，毕竟是关于y的常微分方程），x以及u(x)都可以看做常数。而对(4.1.2)乘以一个常数，不改变它是方程(4.1.1)的解，因为方程是齐次的。

于是我们将

y=u(x)e−∫g(x)dxy=u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx} y=u(x)e−∫g(x)dx

代入式(4.2.1)，得到：

[u(x)e−∫g(x)dx]′+g(x)u(x)e−∫g(x)dx=h(x)u′(x)e−∫g(x)dx+u′(x)e−∫g(x)dx×[−g(x)]+g(x)u(x)e−∫g(x)dx=h(x)u′(x)=h(x)e∫g(x)dxu(x)=C+∫h(x)e∫g(x)dx[u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}]'+g(x)u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}=h(x)\\ u'(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}+u'(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}\times[-g(x)]+g(x)u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}=h(x)\\ u'(x)=h(x)e^{\int_{}^{}g(x)dx}\\ u(x)=C+\int_{}^{}h(x)e^{\int_{}^{}g(x)dx} [u(x)e−∫g(x)dx]′+g(x)u(x)e−∫g(x)dx=h(x)u′(x)e−∫g(x)dx+u′(x)e−∫g(x)dx×[−g(x)]+g(x)u(x)e−∫g(x)dx=h(x)u′(x)=h(x)e∫g(x)dxu(x)=C+∫h(x)e∫g(x)dx

从而获得了(4.2.1)的通解公式：

y=e−∫g(x)dx[C+∫h(x)e∫g(x)dxdx]y=e^{-\int_{}^{}g(x)dx}[C+\int_{}^{}h(x)e^{\int_{}^{}g(x)dx}dx] y=e−∫g(x)dx[C+∫h(x)e∫g(x)dxdx]}

^{五例题⁵}

^{y′−y=x,则g(x)=−1,h(x)=x∫g(x)dx=−xy=ex[C+∫xe−xdx]其中，∫xe−xdx=−∫xde−x=−[xe−x−∫e−xdx]=−xe−x−e−x则：y=Cex−x−1y'-y=x, 则g(x)=-1,h(x)=x\\ \int_{}^{}g(x)dx=-x\\ y=e^{x}[C+\int_{}^{}xe^{-x}dx]\\ 其中，\int_{}^{}xe^{-x}dx=-\int_{}^{}xde^{-x}=-[xe^{-x}-\int_{}^{}e^{-x}dx]=-xe^{-x}-e^{-x}\\ 则：y=Ce^{x}-x-1 y′−y=x,则g(x)=−1,h(x)=x∫g(x)dx=−xy=ex[C+∫xe−xdx]其中，∫xe−xdx=−∫xde−x=−[xe−x−∫e−xdx]=−xe−x−e−x则：y=Cex−x−1

可代入原方程验证}

^{六实例}

^RC电路

^{Sauer T. 数值分析[M]. 第一版. 中国:人民邮电出版社, 2020.1 p271:p271. ↩︎ ↩︎ ↩︎}
^{https://www.zhihu.com/question/40919950 ↩︎}
^{https://www.zhihu.com/question/365491220/answer/968575032 ↩︎}
^{https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E9%98%B6%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B/8440011?fr=aladdin ↩︎}
^{Sauer T. 数值分析[M]. 第一版. 中国:人民邮电出版社, 2020.1 272:272.习题6.1.4(a) ↩︎}

6.1.3 一阶线性方程的线性、齐次与通解公式相关推荐

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一、一阶

二、线性²

^{2.1 线性系统}

^{2.2 常微分方程的线性}

^{三、齐次³}

^{四、一阶线性方程的解法⁴}

^{4.1 一阶线性齐次方程：}

^{4.2 一阶线性非齐次方程：}

^{五例题⁵}

^{六实例}

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2.2 常微分方程的线性

三、齐次3

四、一阶线性方程的解法4

4.1 一阶线性齐次方程：

4.2 一阶线性非齐次方程：

五 例题5

六 实例

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