根据线性递推的DP公式如何写出变换矩阵

原理

一组DP状态，其实等价于一个向量。而DP状态的转移方程，可以是对一个向量做变形的矩阵。那么本质上从1个向量到另一个状态的向量，是可以通过一个矩阵来做到。矩阵具有结合律，我们可以先对右半部分矩阵用快速幂得到一个终极的变形矩阵，再乘以向量，就可以把O(N)O(N)O(N)的计算优化到 O(log(N))O (log(N))O(log(N))

示例

以大家最熟悉的斐波那契数列为例：

递推公式为 dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]dp[i] = dp[i-1] + dp[i - 2]dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]，那么每一个新的数的计算依赖于前2个数，所以可以构建这么一个向量为 (dp[n−1],dp[n−2])(dp[n-1], dp[n-2])(dp[n−1],dp[n−2])，那么它和递推的下一组(dp[n],dp[n−1])(dp[n], dp[n-1])(dp[n],dp[n−1])有什么关系呢？

dp[n]=dp[n−1]∗1+dp[n−2]∗1dp[n] = dp[n-1] *1+ dp[n - 2]*1dp[n]=dp[n−1]∗1+dp[n−2]∗1
dp[n−1]=dp[n−1]∗1=dp[n−1]∗1+dp[n−2]∗0dp[n-1] = dp[n-1]*1=dp[n-1] *1+ dp[n - 2]*0dp[n−1]=dp[n−1]∗1=dp[n−1]∗1+dp[n−2]∗0

转换为矩阵形式，显而易见：
依次递推，要从 dp[2],dp[1]dp[2], dp[1]dp[2],dp[1]求到 dp[n],dp[n−1]dp[n], dp[n-1]dp[n],dp[n−1] 中间需要有n-2个同样的变形矩阵的乘法

（此处若n比较大，则需要结合矩阵快速幂优化）

传送门：矩阵快速幂优化

注：
本文部分引自西部小笼包https://www.jianshu.com/p/9817cf3c2fd9

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