计算机控制系统03 Z变换

2.基于Z变换的定理 * * 第三章 Z变换 ●z变换的定义； ● z变换的方法 ● z反变换的方法 §3.1 Z变换的定义 一．Z变换的引入： ●连续系统：拉氏变换 传递函数 ●离散系统：Z变换 Z传递函数 (脉冲传递函数) 采样脉冲序列 拉氏变换，注意到f(nT)为常数 注意: e-kTs是一个延迟环节，延迟时间为kT， 即k个采样周期(拍)。 1.定义：新变量 z 用z 作自变量，替换F*(s) 中的 s F*(t)的z变换 2．讨论 (1)z-k的物理意义： 延迟k个采样周期。 y(kT) z -k表明z -k的系数是发生在 第k 个采样周期，即第k 拍的值。 (2)一个函数的Z变换只在采样时刻才有意义。 如果 不能得出 y1 (t)=y2(t) 的结论。 (3)单边Z变换 t<0时，f(t)=0; k<0时, f(kT)= f(k)=0。 (4)F(z)=Z[f*(t)],它并不是连续函数的Z变换， 但习惯上也称F(z)为 f(t) 的Z变换， Z变换本身包含着离散的概念。 总之： Z变换的重要含义在于延迟与离散。 无穷递减等比级数的和 1.单位脉冲函数 (脉冲 强度) 二. 典型函数(或序列)的Z变换 2.单位阶跃函数( ) 3.单位斜坡函数 单位阶跃Z变换两边对z求导,再乘以z。 又： 5.正弦、余弦函数 欧拉公式 4.指数函数 §3.2 Z变换的重要性质和定理 1.线性性质 设 则 脉冲序列线性组合的Z变换， 等于其Z变换的线性组合。 2. 平移定理 (1)滞后定理(右移定理) 设 且 则： 一.Z变换的主要性质 证：按Z变换的定义展开，注意到零初始条件 从k=n项开始展开 含义：y(kT-nT) 是滞后于采样信号 y(kT) n个采样周期的采样信号， z-n代表滞后n拍开始采样。 例1：求有纯滞后的单位阶跃函数的Z变换。 例2 求 的Z变换。 解： ak-1 是序列 ak 滞后一拍的采样函数。 (2) 超前定理(左移定理) 思考： 的Z变换。 y(kT+nT) 是超前于y(kT) n拍的采样信号， zn代表超前n拍。 例3 3 初值定理 4 终值定理 若Z[y(kT)]=Y(z),且(z-1)Y(z) 的全部极点 都在单位圆内，则 在零初始条件下 ? 证：∵ 两式相减： 左边： 两边取极限 右边： 左边= ∴ 解 ∵F(z)是 f(t)=1-e-at 的Z变换，显然 例4： 求 f (∞) 的全部极点都在单位圆内，等效于Y(z) 可以 有一个极点为1，在单位圆上,而其余极点必 须全在单位圆内。否则，不能使用终值定理。 注意： 5 迭值定理* 设 (前k项之和) 则 6 离散卷积定理* 若 则 可由Z变换的定义证明(例3.6) 教材P49,第18项有误！ 7 乘ak 后的Z变换 若 则 证： 8 复数平移定理：(乘 e-at 的Z变换 ) 设 证: 同理： 则 例5：求 te-at 的Z变换 由复数平移定理： 同理可求 二.求Z变换的方法 ▲按定义计算(无穷级数求和)见典型函数Z变换 ▲基于Z变换的定理 ▲已知F(s)求F(z) 1.按定义计算 注意 z-k的延迟含义。 例：用定义法求下列函数序列的Z变换 解： 公比：a2z-2; b2z-2 (2)部分分式法：将Y(s) 展成部分分式，逐项查表 (3)留数计算法 例6：已知函数 求 Y(z) 解 查表? 3.已知F(s)求F(z) (1)原函数法：先由F(s)求f(t)，再计算F(z) 留数计算法 式中： qi为Y(s)的极点pi的阶数(重极点个数)； m为Y(s)彼此不同极点的个数。 留数计算法对有理函数和无理函数都适用。 例7 求函数