导数，差商，牛顿插值法
1 差商的定义
设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等的的值 f(xi),称
为f (x)在点处的一阶差商，并记作
。又称
为f (x)在点处的二阶差商；称：
为f (x)在点处的n阶差商。
2 牛顿插值法的推导
有了差商的定义，就很容易推出牛顿插值的公式。
根据均差定义 , 把 x 看成[ a, b] 上一点 , 可得
,
把后一式代入前一式，得到：
3 牛顿插值法的代码实现
由牛顿插值法的公式知道，要实现牛顿插值，关键是要实现各阶差商的计算；而要计算差商，首先需要计算一阶差商，然后用一阶差商计算二阶差商，用二阶差商计算三阶差商...
"""
@brief: 获得牛顿插值函数(非递归实现)
@
"""
def get_Newton_inter_Ex(xi=[], fi=[]):def Newton_inter(x):ai = fi.copy()#计算k阶系数，即计算k阶差商，从第一阶开始计算for k in range(1, len(xi)-1):for j in range(len(xi)-1,k-1,-1):ai[j] = (ai[j]-ai[j-1]) /(xi[j]-xi[j-k])result = ai[0]h = 1.0for j in range(1,len(xi)-1):h *= (x-xi[j-1])result += ai[j] * hreturn resultreturn Newton_inter然后看下完整的代码，通过牛顿插值拟合函数：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Nov 17 18:34:21 2016@author: idwtwt
@brief: 牛顿插值法
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt"""
@brief: 获得牛顿插值函数(非递归实现)
@
"""
def get_Newton_inter_Ex(xi=[], fi=[]):def Newton_inter(x):ai = fi.copy()#计算k阶系数，即计算k阶差商for k in range(1, len(xi)-1):for j in range(len(xi)-1,k-1,-1):ai[j] = (ai[j]-ai[j-1]) /(xi[j]-xi[j-k])result = ai[0]h = 1.0for j in range(1,len(xi)-1):h *= (x-xi[j-1])result += ai[j] * hreturn resultreturn Newton_inter"""
demo:
"""
if __name__ == '__main__':''' 插值节点, 这里用二次函数生成插值节点，每两个节点x轴距离位10 '''sr_x = np.linspace(-50, 50, 12)sr_fx = [1/(1+i**2) for i in sr_x]Nx = get_Newton_inter_Ex(sr_x, sr_fx) # 获得插值函数tmp_x = [i for i in range(-50, 51)] # 测试用例tmp_y = [Nx(i) for i in tmp_x] # 根据插值函数获得测试用例的纵坐标''' 画图 '''plt.figure("Newton")ax1 = plt.subplot(111)plt.sca(ax1)plt.plot(sr_x, sr_fx, linestyle='', marker='o', color='b')plt.plot(tmp_x, tmp_y, linestyle='--', color='r')plt.show()看下拟合效果
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