牛顿插值法法—

一、插值条件
f(x)是未知函数，所以用所求的Nn(x)的已知函数代替未知函数求解问题

牛顿插值法要满足的条件：Nn(xi)=F(Xi)

二、牛顿插值法的差值公式
n+1个交点则有，
Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)+…+f[x0,x1,x2,…,xn](x-x0)*(x-x1)…(x-xn-1)

三、差商表

差商公式:f[x0,x1,x2,…xi]=(f[x0,x1,x2,…,xi-1]-f[x1,x2,x3,…,xi])/(x0-xi)

假设f(x)经过6个点，分别为(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(x5,f(x5))
差商表为：

x	f(x)	一阶差商	二阶差商	三阶差商	…	五阶差商
x0	f(x0)
		f[x0,x1]
x1	f(x1)		f[x0,x1,x2]
		f[x1,x2]		f[x0,x1,x2,x3]
x2	f(x2)		f[x1,x2,x3]		…
		f[x2,x3]		f[x1,x2,x3,x4]	…	f[x0,x1,x2,x3,…,x5]
x3	f(x3)		f[x2,x3,x4]		…
		f[x3,x4]		f[x2,x3,x4,x5]
x4	f(x4)		f[x3,x4,x5]
		f[x4,x5]
x5	f(x5)

四、代码
根据上面描述，若f(x)经过n个已知点可以用如下牛顿插值法代码来近似求解x的f(x)函数值


import java.util.Scanner;
public class Newtoninterpolate {static double[][] format;public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner in = new Scanner(System.in);int n=in.nextInt();//插入点总数double[][] xy=new double[2][n];//二维数组来存储x和yfor(int j=0;j<n;j++) {xy[0][j]=in.nextDouble();//第0行放各点的x值xy[1][j]=in.nextDouble();//第1行放各点的y值}creatformat(xy, n);int v=in.nextInt();//所求点的总数for(int i=0;i<v;i++) {double x=in.nextDouble();System.out.print("f("+x+")≈"+"Nn("+x+")"+"=");System.out.printf("%.5f", Nn(xy, n, x));System.out.println();}}static void creatformat(double[][] xy,int n) {format=new double[n-1][n-1];for(int i=0;i<n-1;i++) {for(int j=0;j<n-1-i;j++) {if(i==0) {format[i][j]=(xy[1][j]-xy[1][j+1])/(xy[0][j]-xy[0][j+1]);}else{format[i][j]=(format[i-1][j]-format[i-1][j+1])/(xy[0][j]-xy[0][j+i+1]);} }}}static double Nn(double[][] xy,int n,double x) {//牛顿插值公式double sum=xy[1][0];//求和的初始值为f(X0)for(int i=0;i<n-1;i++) {double c=1;for(int j=0;j<i+1;j++) {c=(x-xy[0][j])*c;}sum=sum+format[i][0]*c;}return sum;}
}

五、例子

已知未知函数f(x)经过(0.40,0.41075),(0.55,0.57815),(0.65,0.69675),(0.80,0.88811),(0.90,1.02652),(1.05,1.25386)这些点，求当0.596的近似函数值。
eclipse编译器运行结果：

（精确到小数点后5位）

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