整除分块

要求 $\sum_{i=1}^n[\frac{n}{i}]$ 的值时，通过打表可以发现会有很多相同的块：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 5 3 2 2 1 1 1 1 1

for(ll l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1){r=n/(n/l)ans+=(r-l+1)*(n/l);
}

莫比乌斯反演

$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$ 有 $f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$
$F(n)=\sum_{n|d} f(d)$ 有 $f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$
μ(1)=1
当x=p1*p2*p3*p4*...*pn μ(x)=(-1)^n
其余情况为0

要求 $\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b [gcd(i,j)==k]$ 。设：f(n）

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=220000;
ll pri[N],mu[N],sum[N],a,b,d;
bool mark[N];
int cas,cnt;
void init(){mu[1]=1;ll n=55000;//线性筛素数和mu函数 for(ll i=2;i<=n;i++){if(!mark[i]) pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;for(ll j=1;j<=cnt && pri[j]*i<=n;j++){mark[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0) break;mu[i*pri[j]]=-mu[i]; }}for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
ll sol(ll a,ll b,ll d){ll ans=0;for(ll l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1){r=min(a/(a/l),b/(b/l));ans+=(sum[r]-sum[l-1])*(a/(l*d))*(b/(l*d));}return ans;
}
int main(){
//  freopen("test.in","r",stdin);init();scanf("%d",&cas);while(cas--){scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&d);printf("%lld\n",sol(a,b,d));}return 0;
}

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