luogu P3455 [POI2007]ZAP-Queries （莫比乌斯反演 + 整除分块）

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枚举 ⌊kd⌋\lfloor\frac{k}{d}\rfloor⌊dk⌋ 设为 ttt
f(d)=∑t=1min(a,b)μ(t)⌊atd⌋⌊btd⌋f(d)=\sum_{t=1}^{min(a,b)}\mu(t)\lfloor\frac{a}{td}\rfloor\lfloor\frac{b}{td}\rfloorf(d)=t=1∑min(a,b)μ(t)⌊tda⌋⌊tdb⌋

时间复杂度为O(n)O(n)O(n)我们再利用整除分块将时间复杂度降到O(n)O(\sqrt{n})O(n)。我们直接枚举 ttt，也就是说 lll 就是 ttt。

因为区间lll到rrr的值都相同，所以我们使用整除分块，利用前缀和直接求莫比乌斯函数这一段的和。

推完公式代码就非常简单了：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 50007, M = 50007, INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;int n, m;
int vis[N];
int cnt, mu[N], prime[N];
int sum[N];void get_mu(int n)
{memset(vis, 0, sizeof vis);memset(mu, 0, sizeof mu);cnt = 0, mu[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++ i){if(!vis[i]){prime[cnt ++ ] = i;mu[i] = -1;}for(int j = 0; j < cnt && prime[j] * i <= n; ++ j){vis[prime[j] * i] = true;if(i % prime[j] == 0)break;mu[i * prime[j]] = - mu[i];}}for(int i = 1; i <= n; ++ i){sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];}
}int main()
{get_mu(5e4 + 7);scanf("%d", &n);while(n -- ){int a, b, d;ll ans = 0;scanf("%d%d%d", &a, &b, &d);
// l 从一定要1开始！从0开始的话就会 除0 直接RE
//要保证l <= min(a, b)因为一旦t大于a，就会除0（l就是枚举的t，t=k/d）for(int l = 1, r; l <= min(a, b); l = r + 1){r = min(a / (a / l), b / (b / l));ans += 1ll * (a / (l * d)) * (b / (l *d)) * (sum[r] - sum[l - 1]);}printf("%lld\n", ans);}
}

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