莫比乌斯函数（bzoj 1101: [POI2007]Zap）

莫比乌斯反演：

http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8542292

课件：https://wenku.baidu.com/view/fbec9c63ba1aa8114431d9ac.html

（下面所有的d|n都表示d是n的约数）

莫比乌斯函数u(n)函数定义：

①u(1)==1

②若d = p1*p2*p3…pk，其中pi为质数且互不相同，那么u(n) = (-1)^k

③其他情况下u(n)==0

u(n)函数性质：

①

②

其中φ(n)是欧拉函数，表示小于n的正整数中与n互质的数的数目(φ(1)=1)

莫比乌斯反演公式：

令F[n]和f[n]是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件

那么有

附录：

若f[n]为积性函数：

①f[1] = 1

②f[xy] = f[x]f[y]，其中Gcd(x, y)==1

③如果②中没有条件Gcd(x, y)==1，都满足f[xy] = f[x]f[y]那么f[x]为完全积性函数

④积性函数的前缀和也是积性函数

其中莫比乌斯函数u(n)是积性函数

莫比乌斯反演的证明：

第一个等号很好证明，直接将F()的公式代入就好了

第二个等号：这个式子很显然d和d'都是n的约数，d*d' = d'*d = n可以直接交换d和d'而不影响，

第三个等号：但d'!=n时由u(n)函数性质①可得整个式子值为0，当d'==n时整个式子右半部分为1，左半部分为f(n)

那么如何求出u(n)呢？

具体代码如下，类似于质数的预处理，预处理前n项的复杂度<<n*sqrt(n)

int cnt, pri[100025], flag[100025] = {1,1}, mu[100005] = {0,1};
for(i=2;i<=100005;i++)
{if(flag[i]==0)               //如果i是质数，显然mu[i]=-1{pri[++cnt] = i;mu[i] = -1;}for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=100005;j++){flag[i*pri[j]] = 1;if(i%pri[j]==0)               //(令x=pri[j])，如果i是质因子x的倍数，那么mu[i*x]一定为0{mu[i*pri[j]] = 0;break;         //直接break，既然i%pri[j]==0，那么i*pri[j+1]==i/pri[i]*(pri[i]*pri[j+1])后面也一定会遍历到}mu[i*pri[j]] = -mu[i];}
}

1101: [POI2007]Zap

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Description

　　FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

　　第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

　　对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

4 5 2

6 4 3

Sample Output

这题是要求

令c = a/D，d = b/D，那么相当于求

由莫比乌斯函数的性质①可将上式子化为

仔细分析这个式子，可以发现假设对于当前的值p，有t对(x, y)满足p同时是x和y的约数，那么答案就加上u(p)*t

很显然t = (能被p整除的x的个数)*(能被p整除的y的个数）即[c/x]*[d/y]（[]表示向下取整）

所以最后答案就为

所以只要枚举p就好了，可这样还是会超时，但因为[c/p]和[d/p]的取值只有2sqrt(c)和2sqrt(d)个，那么可以枚举它们的取值，其中u(p)的求法在上面有写

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
int cnt, pri[100025], flag[100025] = {1,1}, mu[100005] = {0,1}, sum[100005];
int Jud(int n, int m)
{int ans, L, R;ans = 0;if(n>m)swap(n, m);L = 1;while(L<=n){R = min(n/(n/L), m/(m/L));ans += (sum[R]-sum[L-1])*(n/L)*(m/L);L = R+1;}return ans;
}int main(void)
{int T, n, m, d, ans, i, j;for(i=2;i<=100005;i++){if(flag[i]==0){pri[++cnt] = i;mu[i] = -1;}for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=100005;j++){flag[i*pri[j]] = 1;if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]] = 0;break;}mu[i*pri[j]] = -mu[i];}}for(i=1;i<=100005;i++)sum[i] = mu[i]+sum[i-1];scanf("%d", &T);while(T--){scanf("%d%d%d", &n, &m, &d);ans = Jud(n/d, m/d);printf("%d\n", ans);}return 0;
}