线性代数行列式（二）

本文是线性代数系列的第三篇文章，往期精彩，可点击蓝色字体阅读：

为什么要学线性代数

行列式的几何意义是什么

一、行列式性质

1.行列式与它的转置行列式相等。

转置行列式的意思是：对角线元素不变，将其他元素和与之关于对角线对称的元素进行位置交换，所得结果即行列互换，

原本在第一行的元素放在第一列，原本在第二行的元素放在第二列...比如一个行列式：

其转置为：

由此性质也可知，行列式的行和列具有同等地位。对行成立的性质对列也成立。

2. 对换行列式的两行(列)，行列式值变号。

3. 行列式某一行(列)的公因式可以提到行列式外面，即某一行(列)乘以一个数，等于用这个数乘以该行列式。

比如：

4. 如果行列式中有两行(列)相同或者成比例，则此行列式等于0。

证：设一行列式D，将成比例的两行提出公因式，然后交换这两行，得D=-D，所以D=0.

5. 若某一行(列)的每个元素都是两个数的和，则该行列式可拆分为两个行列式之和，比如：

6. 把某一行(列)的各个元素乘以同一个数，加到另一行(列)对应的元素上，行列式值不变。

（此性质也是化简行列式的重要方法）

计算行列式常用的一种方法是用以上性质化简为上(下)三角行列式，上(下)三角行列式等于对角线元素之积。

还有一种行列式，其左上方或右下方为0，如下式：

其计算方法为：

对于n阶，计算公式为：

同理：

其证明可用两行交换化为上三角行列式，具体证明过程见同济教材11页。

二、按行(列)展开

首先需要明确两个概念：余子式和代数余子式。

将行列式某元素 aij 所在的行和列划去后剩下的n-1阶行列式，叫该元素的余子式，记为 Mij，而 Aij =(-1)的i+j次方乘以Mij 则记为代数余子式。

比如一个行列式：

第一行第二列的2的余子式为

代数余子式为

行列式展开法则：

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：

上式为按行展开，按列展开与之类似。

举个例子，用展开法则计算下面行列式的值：

此处按第一行展开：

所以该行列式值等于

在实际应用中，可以用行列式的性质进行化简，使得同一行(列)尽量多出现0，然后很方便地展开，得出行列式的值

推论：

行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

还是以上一题为例，在上一个行列式中是按第一行展开的，第一行各个元素乘以各自的代数余子式，

然后相加得出行列式的值。假如和第二行的各元素代数余子式相乘再相加，是否会得出推论的结果呢？

试一下。第二行为5、4、3，其代数余子式分别为：

用第一行与之相乘再相加，得：

结果为零，验证了该推论。

该推论的证明如下(大概地证一下，便于理解，严谨的证明见教材)

以一个三阶行列式为例：

需要证明的是：

上式可以看作是下面这个行列式在第二行用展开法求得的：

由于该行列式前两行相同，故行列式值为0，所以

得证。