学习线性代数-行列式笔记（一）

2024-05-06 15:18:57

一、排列与逆序

什么是排列：
比如：1，2，3，4，5…n
上面这个排列也叫作n级排列，n级排列的的组合有n的阶乘种。

逆序数：
”逆序“是指较大的数排在了前面。
”逆序数“，数列中的每个数后面有多少个数比它本身小的总和。
比如：45231 = 3 + 3 +1 + 1 + 0 = 8
(第一个数4后面2 3 1比它小，所以是3)
(第二个数5后面2 3 1比它小，所以是3)
(第三个数2后面1比它小，所以是1)
(第四个数3后面1比它小，所以是1)
(第五个数1后面没有比它小的，所以是0)
所以加起来就是3 + 3 + 1 + 1 + 0 = 8

主要定理
对换 : 让1和4换位
2413的逆序数为3(奇排列)，2143的逆序数为2(偶排列)
定理一：换位改变数列奇偶性
定理二：n种排列，有n的阶乘个奇偶各占一半 (n>1)
定理三：任何一个排列，都可以通过一系列对换与自然排列互换。奇偶性与对换个数一致。（奇换奇次=偶偶换偶次=偶）

求和号的使用

二阶行列式

三阶行列式

n阶行列式

n阶行列式有n行n列.。
定义:
组成项：所有的行排好，列随便取一个列，取自不同行不同列。
符号：列标排列为奇排列的负，偶排列为正数。

它是一个数，或是一个式子。
一阶行列式 |a₁₁|=a₁₁
D=|aᵢⱼ| (n行 n列)
n!项(有n的阶乘项) 正负各一半 (n>=2)
理论意义大于计算意义 (除非零特别多)

下三角行列式：

上三角行列式：

对角线行列式

没有名字

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