第一类斯特林数学习记录

最近做题有时会碰到斯特林数（Stirling数），就觉得好好的学习一番，于是呢，写下这篇博客，来记录一些知识

简单介绍

第一类斯特林数表示表示将 n 个不同元素构成m个圆排列的数目。——百度百科

第一类斯特林数，可以表示为s(n,m)s(n,m)s(n,m)，注意这里是小写
，要与大写的第二类斯特林数区分开来，定义上面也讲到了，但是呢，其实那句话最好改成第一类斯特林数的绝对值，因为第一类斯特林数是分正负的，分为无符号斯特林数su(n,m)s_u(n,m)su(n,m)和有符号斯特林数ss(n,m)s_s(n,m)ss(n,m)

有无符号Stirling数分别表现为其升阶函数和降阶函数的各项系数[类似于二项式系数]，形式如下：
xn↓=x(x−1)(x−2)⋅⋅⋅(x−n+1)=∑k=0nss(n,k)xkx^{n\downarrow}=x(x-1)(x-2)···(x-n+1)=\sum_{k=0}^ns_s(n,k)x^kxn↓=x(x−1)(x−2)⋅⋅⋅(x−n+1)=k=0∑nss(n,k)xk
xn↑=x(x+1)(x+2)⋅⋅⋅(x+n−1)=∑k=0nsu(n,k)xkx^{n\uparrow}=x(x+1)(x+2)···(x+n-1)=\sum_{k=0}^ns_u(n,k)x^kxn↑=x(x+1)(x+2)⋅⋅⋅(x+n−1)=k=0∑nsu(n,k)xk

这是一个很烦的式子，但其实呢，有符号和无符号斯特林数之间的关系其实很简单ss(n,m)=(−1)n+msu(n,m)s_s(n,m)=(-1)^{n+m}s_u(n,m)ss(n,m)=(−1)n+msu(n,m)
另外，这个式子的推导可以见我的另一篇博客：第二类斯特林数学习记录

计算公式

第一类斯特林数有个递推式很好想
想一下对于su(n,m)s_u(n,m)su(n,m)
若n=0n=0n=0，m=0m=0m=0那么显然就一种方案
若n≠0n\neq0n̸=0，m=0m=0m=0那么肯定分配不了，有0种方案
若n≠0n\neq0n̸=0，m≠0m\neq0m̸=0
那么考虑转移
倘若由su(n−1,m−1)s_u(n-1,m-1)su(n−1,m−1)转移而来，则说明新来的一个点自成一个环只有一倍的贡献
倘若由su(n−1,m)s_u(n-1,m)su(n−1,m)转移而来，则说明新来的一个点插入到m个环中的n-1个空格的任何一个位置，那么就有n-1倍的贡献，递推式为su(n,m)=su(n−1,m−1)+(n−1)∗su(n−1,m)s_u(n,m)=s_u(n-1,m-1)+(n-1)*s_u(n-1,m)su(n,m)=su(n−1,m−1)+(n−1)∗su(n−1,m)
有符号的第一类斯特林数的递推式为ss(n,m)=ss(n−1,m−1)−(n−1)∗ss(n−1,m)s_s(n,m)=s_s(n-1,m-1)-(n-1)*s_s(n-1,m)ss(n,m)=ss(n−1,m−1)−(n−1)∗ss(n−1,m)
证明是前面那个公式∑k=0ns(n,k)xk=xn↓=xn−1↓∗(x−n+1)=∑k=0n−1s(n−1,k)xk+1−n∗∑k=0n−1s(n−1,k)xk\sum_{k=0}^ns(n,k)x^k=x^{n\downarrow}=x^{n-1\downarrow}*(x-n+1)=\sum_{k=0}^{n-1}s(n-1,k)x^{k+1}-n*\sum_{k=0}^{n-1}s(n-1,k)x^kk=0∑ns(n,k)xk=xn↓=xn−1↓∗(x−n+1)=k=0∑n−1s(n−1,k)xk+1−n∗k=0∑n−1s(n−1,k)xk
依次把xmx^mxm在左右两边的系数提取出来得到
另外有这个式子：（证明在第二类斯特林数的博客里）
xn↓=∑i=0n[ni]sxix^{n\downarrow}=\sum_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}_sx^ixn↓=i=0∑n[ni]sxi
我们可以通过这个公式在Θ(nlog2n)\Theta(nlog^2n)Θ(nlog2n)的复杂度内用分治+FFT求出某个nnn对应的所有su(n,m)s_u(n,m)su(n,m)值

性质

除了一些比较容易想到的性质外，第一类斯特林数还有如下性质
su(n,2)=(n−1)!∗∑i=1n−11is_u(n,2)=(n-1)!*\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}su(n,2)=(n−1)!∗i=1∑n−1i1
∑k=0nsu(n,k)=n!\sum_{k=0}^ns_u(n,k)=n!k=0∑nsu(n,k)=n!
容易发现，每一个排列都对应着一个轮换（相当于i到ai连一条边的一副图），然后枚举轮换里环的数量就好了

应用

第一类斯特林数是一种在组合方面比较有用的数，很多问题都可通过它来解决，熟悉它的性质，才能熟练的运用到公式推导的过程中去