正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF960G

题目大意

求有多少个长度为nnn的排列，使得有AAA个前缀最大值和BBB个后缀最大值。

0≤n,A,B≤1050\leq n,A,B\leq 10^50≤n,A,B≤105

解题思路

显然的是把最大的数两边然后左边的是前缀最大值，右边的是前缀最小值。

然后考虑两个前缀最大值之间其实可以插任何数字，但是最大的一定要排在前面。

其实就是这些数字分成若干个圆排列的个数，就是第一类斯特林数。

枚举左右两边的数量就有
∑i=0n−1[ia−1][n−i−1b−1](n−1i)\sum_{i=0}^{n-1}\begin{bmatrix}i\\a-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}n-i-1\\b-1\end{bmatrix}\binom{n-1}{i}i=0∑n−1[ia−1][n−i−1b−1](in−1)
然后组合意义理解一下，我们可以考虑直接分成a+b−2a+b-2a+b−2个环然后再依次排列到左右就是
[n−1a+b−2](a+b−2a−1)\begin{bmatrix}n-1\\a+b-2\end{bmatrix}\binom{a+b-2}{a-1}[n−1a+b−2](a−1a+b−2)

这个看起来就好做很多，先考虑怎么求第一类斯特林数。

考虑递推式
[nm]=[n−1m−1]+[n−1m]×(n−1)\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}\times(n-1)[nm]=[n−1m−1]+[n−1m]×(n−1)
可以理解为0∼n−10\sim n-10∼n−1个里面选出mmm个数的乘积之和。

用生成函数做就是
∏i=0n−1(x+i)\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)i=0∏n−1(x+i)

用分治+NTTNTTNTT算就好了，当然推式子还有更快的方法

时间复杂度O(nlog⁡2n)O(n\log^2 n)O(nlog2n)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,P=998244353;
struct Poly{ll f[N];ll n;
}F[20];
ll n,a,b,f[N],g[N],r[N];bool use[20];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll tmp=power(3,(P-1)/p),len=p>>1;if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=f[i+len]*buf%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;
}
void mul(Poly &x,Poly &y){ll n=1;while(n<x.n+y.n)n<<=1;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=x.f[i],g[i]=y.f[i];NTT(f,n,1);NTT(g,n,1);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*g[i]%P;NTT(f,n,-1);for(ll i=0;i<n;i++)x.f[i]=f[i],y.f[i]=0;x.n=x.n+y.n-1;return;
}
ll FindE(){for(ll i=0;i<20;i++)if(!use[i])return i;
}
ll solve(ll l,ll r){if(l==r){ll p=FindE();F[p].f[0]=l;F[p].f[1]=1;F[p].n=2;use[p]=1;return p;}ll mid=(l+r)>>1;ll ls=solve(l,mid),rs=solve(mid+1,r);mul(F[ls],F[rs]);use[rs]=0;return ls;
}
ll C(ll n,ll m){ll ans=1,fac=1;for(ll i=m+1;i<=n;i++)ans=ans*i%P;for(ll i=1;i<=n-m;i++)fac=fac*i%P;return ans*power(fac,P-2)%P;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&a,&b);if(!a||!b||a+b-2>n-1)return puts("0")&0;if(n==1)return puts("1")&0;ll p=solve(0,n-2);printf("%lld\n",F[p].f[a+b-2]*C(a+b-2,a-1)%P);return 0;
}

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