【bzoj1406】【AHOI2007】【密码箱】【数论】

2024-05-11 09:07:45

1406: [AHOI2007]密码箱

Time Limit: 5 Sec Memory Limit: 64 MB
Submit: 992 Solved: 576
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Description

在一次偶然的情况下，小可可得到了一个密码箱，听说里面藏着一份古代流传下来的藏宝图，只要能破解密码就能打开箱子，而箱子背面刻着的古代图标，就是对密码的提示。经过艰苦的破译，小可可发现，这些图标表示一个数以及这个数与密码的关系。假设这个数是n，密码为x，那么可以得到如下表述：密码x大于等于0，且小于n，而x的平方除以n，得到的余数为1。小可可知道满足上述条件的x可能不止一个，所以一定要把所有满足条件的x计算出来，密码肯定就在其中。计算的过程是很艰苦的，你能否编写一个程序来帮助小可可呢？（题中ｘ，ｎ均为正整数）

Input

输入文件只有一行，且只有一个数字n(1<=n<=2,000,000,000)。

Output

你的程序需要找到所有满足前面所描述条件的x，如果不存在这样的x，你的程序只需输出一行“None”(引号不输出)，否则请按照从小到大的顺序输出这些x，每行一个数。

Sample Input

12

Sample Output

1
5
7
11

题解: 由题意可知 a*n=x^2-1;

即 a*n=(x+1)*(x-1);

设 n=p*q;(p<q)

则 p|(x+1)&&q|(x-1)或者p|(x-1)&&q|(x+1);

然后枚举一下p,再枚举一下x,用set判重就好了。

最坏的时间复杂度为O(小于sqrt(n)的约数个数*sqrt(n))；但其实比这个好很多。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<set>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[1000001],u,temp;
set<int> s;
int main()
{cin>>n;for (int i=2;i<=sqrt(n);i++){if (n%i==0){u=n/i;for (int j=u-1;j<=n;j+=u)if ((j-1)%i==0&&s.find(j)==s.end()){a[++a[0]]=j;s.insert(j);}  for (int j=u+1;j<=n;j+=u)if ((j+1)%i==0&&s.find(j)==s.end()){a[++a[0]]=j;s.insert(j);}}}if (s.find(n-1)==s.end()) a[++a[0]]=n-1;a[++a[0]]=1;temp=a[0];sort(a+1,a+temp+1);for (int i=1;i<=temp;i++)printf("%d\n",a[i]);
}

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