【BZOJ1406】【codevs2478】密码箱，数论练习

传送门1
传送门2
写在前面：纯洁的污，还要恍然大污
思路：
（感觉数论一段时间不做就找不到感觉了呢）
题意就是求x2≡1(mod　n)x^2≡1(mod　n)在[0,n]上所有的整数解
方程可化为(x−1)(x+1)≡0(mod　n)(x-1)(x+1)≡0(mod　n)
即n|(x−1)(x+1)n|(x-1)(x+1)
令n=a∗bn=a*b，其中a,b就是n的正整数因子。则对于一个可行的x来说，一定至少有1对(a,b)满足
a|(x−1),b|(x+1)a|(x-1),b|(x+1)或a|(x+1),b|(x−1)a|(x+1),b|(x-1)
反过来说也是成立的
（至于证明，我们可以n与(x+1)(x-1)质因数分解，则{n的质因子}⊆{x+1的质因子}∪{x-1的质因子}，而n的因子是(1,n)或质因子乘起来的，所以一定能找出一对符合条件的(a,b)）
这样一来我们就比较容易地做到两件事，一是说明当n=1时无解（不可能有一个自然数是0的因子），否则一定有解（当x=n-1时，令a,b为1,n即可），二是O(√n)O(√n)筛出n的因子，然后通过枚举每个因子的倍数p，然后判断p是否能为x-1或x+1，最后得出方程的解
注意：
1.可能会有重复解，所以用map判重
2.选取大于√n的因子做判断，不然会T
3.x=1是任何n的解(n>1)
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#include<set>
using namespace std;
int n;
int a[50000],ans[1000000];
map<int,bool>mp;
main()
{scanf("%d",&n);if (n==1) printf("None"),exit(0);ans[++ans[0]]=1;for (int i=1;i<=sqrt(n);i++)if (n%i==0) a[++a[0]]=n/i;  for (int i=1;i<=a[0];i++)for (int j=a[i];j<=n;j+=a[i]){if ((j+2)%(n/a[i])==0&&j+1<=n&&!mp[j+1])mp[j+1]=1,ans[++ans[0]]=j+1;if ((j-2)%(n/a[i])==0&&j-1>=0&&!mp[j-1])mp[j-1]=1,ans[++ans[0]]=j-1;}sort(ans+1,ans+ans[0]+1);for (int i=1;i<=ans[0];i++) printf("%d\n",ans[i]);
}

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