一、理论基础

1、白鲸优化算法

文献[1]从白鲸的行为出发，提出了一种新的基于种群的元启发式算法，称为白鲸优化(Beluga whale optimization, BWO)算法，用于求解优化问题。BWO建立了探索、开发和鲸鱼坠落的三个阶段，分别对应于成对游泳、捕食和鲸落的行为。BWO中的平衡因子和鲸落概率是自适应的，对控制探索和开发能力起着重要作用。此外，还引入了莱维飞行来增强开发阶段的全局收敛性。
由于BWO基于种群的机制，白鲸被视为搜索代理，而每头白鲸都是候选解，在优化过程中更新。搜索代理位置矩阵建模为：X=[x1,1x1,2⋯x1,dx2,1x2,2⋯x2,d⋮⋮⋮⋮xn,1xn,2⋯xn,d](1)X=\begin{bmatrix}x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,d} \\x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,d} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\x_{n,1} & x_{n,2} & \cdots & x_{n,d} \end{bmatrix}\tag{1}X=⎣⎢⎢⎢⎡x1,1x2,1⋮xn,1x1,2x2,2⋮xn,2⋯⋯⋮⋯x1,dx2,d⋮xn,d⎦⎥⎥⎥⎤(1)其中，nnn是白鲸的种群数量，ddd代表问题变量的维数。对于所有白鲸，相应的适应度值存储如下：FX=[f(x1,1,x1,2,⋯,x1,d)f(x2,1,x2,2,⋯,x2,d)⋮f(xn,1,xn,2,⋯,xn,d)](2)F_X=\begin{bmatrix}f(x_{1,1},x_{1,2},\cdots,x_{1,d}) \\f(x_{2,1},x_{2,2},\cdots,x_{2,d})\\\vdots\\f(x_{n,1},x_{n,2},\cdots,x_{n,d}) \end{bmatrix}\tag{2}FX=⎣⎢⎢⎢⎡f(x1,1,x1,2,⋯,x1,d)f(x2,1,x2,2,⋯,x2,d)⋮f(xn,1,xn,2,⋯,xn,d)⎦⎥⎥⎥⎤(2)BWO算法可以从探索逐渐转换到开发，这取决于平衡因子BfB_fBf，其定义为：Bf=B0(1−T/(2Tmax⁡))(3)B_f=B_0(1-T/(2T_{\max}))\tag{3}Bf=B0(1−T/(2Tmax))(3)其中，TTT是当前迭代次，Tmax⁡T_{\max}Tmax是最大迭代次数，B0B_0B0在每次迭代中在(0,1)(0,1)(0,1)之间随机变化。探索阶段发生在平衡因子Bf>0.5B_f>0.5Bf>0.5时，而开发阶段发生在Bf≤0.5B_f\leq0.5Bf≤0.5。随着迭代次数TTT的增加，BfB_fBf的波动范围从(0,1)(0,1)(0,1)减小到(0,0.5)(0,0.5)(0,0.5)，说明开发和探索阶段的概率发生了显著变化，而开发阶段的概率随着迭代次数TTT的不断增加而增加。

（1）探索阶段

BWO的探索阶段是通过考虑白鲸的游泳行为建立的。搜索代理的位置由白鲸的配对游泳决定，白鲸的位置更新如下：{Xi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)sin⁡(2πr2),j=evenXi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)cos⁡(2πr2),j=odd(4)\begin{dcases}X_{i,j}^{T+1}=X_{i,p_j}^T+\left(X_{r,p_1}^T-X_{i,p_j}^T\right)(1+r_1)\sin(2\pi r_2),\quad j=even\\[2ex]X_{i,j}^{T+1}=X_{i,p_j}^T+\left(X_{r,p_1}^T-X_{i,p_j}^T\right)(1+r_1)\cos(2\pi r_2),\quad j=odd\end{dcases}\tag{4}⎩⎪⎨⎪⎧Xi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)sin(2πr2),j=evenXi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)cos(2πr2),j=odd(4)其中，TTT是当前迭代次数，Xi,jT+1X_{i,j}^{T+1}Xi,jT+1是第iii条白鲸在第jjj维上的新位置，pj(j=1,2,⋯,d)p_j(j=1,2,\cdots,d)pj(j=1,2,⋯,d)是从ddd维中选择的随机整数，Xi,pjTX_{i,p_j}^{T}Xi,pjT是第iii条白鲸在pjp_jpj维度上的位置，Xi,pjTX_{i,p_j}^{T}Xi,pjT和Xr,p1TX_{r,p_1}^{T}Xr,p1T分别是第iii条和第rrr条白鲸的当前位置(rrr是随机选择的白鲸)，r1r_1r1和r2r_2r2是(0,1)(0,1)(0,1)的随机数，sin⁡(2πr2)\sin(2\pi r_2)sin(2πr2)和sin⁡(2πr2)\sin(2\pi r_2)sin(2πr2)表示镜像白鲸的鳍朝向水面。根据奇偶数选择的维数，更新后的位置反映了白鲸在游泳或跳水时的同步或镜像行为。两个随机数r1r_1r1和r2r_2r2用于增强探索阶段的随机算子。

（2）开发阶段

BWO的开发阶段受到白鲸捕食行为的启发。白鲸可以根据附近白鲸的位置合作觅食和移动。因此，白鲸通过共享彼此的位置信息来捕食，同时考虑最佳候选者和其他候选者。在BWO的开发阶段引入了莱维飞行策略，以增强收敛性。假设它们可以使用莱维飞行策略捕捉猎物，数学模型表示为：XiT+1=r3XbestT−r4XiT+C1⋅LF⋅(XrT−XiT)(5)X_i^{T+1}=r_3X_{best}^T-r_4X_i^T+C_1\cdot L_F\cdot\left(X_r^T-X_i^T\right)\tag{5}XiT+1=r3XbestT−r4XiT+C1⋅LF⋅(XrT−XiT)(5)其中，TTT是当前迭代次数，XiTX_i^TXiT和XrTX_r^TXrT分别是第iii条白鲸和随机白鲸的当前位置，XiT+1X_i^{T+1}XiT+1是第iii条白鲸的新位置，XbestTX_{best}^TXbestT是白鲸种群中的最佳位置，r3r_3r3和r4r_4r4是(0,1)(0,1)(0,1)之间的随机数，C1=2r4(1−T/Tmax⁡)C_1=2r_4(1-T/T_{\max})C1=2r4(1−T/Tmax)是衡量莱维飞行强度的随机跳跃强度。
LFL_FLF是莱维飞行函数，计算如下：LF=0.05×u×σ∣v∣1/β(6)L_F=0.05\times\frac{u\times\sigma}{|v|^{1/\beta}}\tag{6}LF=0.05×∣v∣1/βu×σ(6)σ=(Γ(1+β)×sin⁡(πβ/2)Γ((1+β)/2)×β×2(β−1)/2)1/β(7)\sigma=\left(\frac{\Gamma(1+\beta)\times\sin(\pi\beta/2)}{\Gamma((1+\beta)/2)\times\beta\times2^{(\beta-1)/2}}\right)^{1/\beta}\tag{7}σ=(Γ((1+β)/2)×β×2(β−1)/2Γ(1+β)×sin(πβ/2))1/β(7)其中，uuu和vvv为正态分布随机数，β\betaβ为默认常数，等于1.5。

（3）鲸落

为了在每次迭代中模拟鲸鱼坠落的行为，从种群中的个体中选择鲸鱼坠落的概率作为主观假设，以模拟群体中的小变化。假设这些白鲸要么移到别处，要么被击落并坠入深海。为了确保种群大小的数量恒定，使用白鲸的位置和鲸鱼落体的步长来建立更新的位置。数学模型表示为：XiT+1=r5XiT−r6XrT+r7Xstep(8)X_i^{T+1}=r_5X_i^T-r_6X_r^T+r_7X_{step}\tag{8}XiT+1=r5XiT−r6XrT+r7Xstep(8)其中，r5r_5r5、r6r_6r6和r7r_7r7是(0,1)(0,1)(0,1)之间的随机数，XstepX_{step}Xstep是鲸鱼坠落的步长，定义为：Xstep=(ub−lb)exp⁡(−C2T/Tmax⁡)(9)X_{step}=(u_b-l_b)\exp(-C_2T/T_{\max})\tag{9}Xstep=(ub−lb)exp(−C2T/Tmax)(9)其中，C2C_2C2是与鲸鱼下降概率和种群规模相关的阶跃因子(C2=2Wf×nC_2=2W_f\times nC2=2Wf×n)，ubu_bub和lbl_blb分别是变量的上下限。可以看出，步长受问题变量边界、当前迭代次数和最大迭代次数的影响。
在该模型中，鲸鱼坠落概率(WfW_fWf)作为线性函数计算：Wf=0.1−0.05T/Tmax⁡(10)W_f=0.1-0.05T/T_{\max}\tag{10}Wf=0.1−0.05T/Tmax(10)鲸鱼坠落的概率从初始迭代的0.1降低到最后一次迭代的0.05，表明在优化过程中，当白鲸更接近食物源时，白鲸的危险性降低。

2、BWO算法流程图

根据之前的理论，BWO包括三个主要阶段：模拟游泳行为的探索阶段，模仿捕食行为的开发阶段，以及受白鲸坠落启发的鲸鱼坠落阶段。在优化过程中，在每次迭代中完成探索阶段和开发阶段时，将执行鲸鱼坠落阶段。BWO算法的流程图如图1所示。

图1 BWO算法伪代码

二、仿真实验与结果分析

将BWO与PSO、AOA、GSA、GWO、HHO、TLBO和WOA进行对比，以文献[1]中表1和表2的F4、F5、F6、F7(单峰函数/30维)、F13、F14(多峰函数/30维)、F21、F22(固定维度多峰函数/2维、4维)为例，实验设置种群规模为50，最大迭代次数为1000，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F4
BWO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
PSO：最差值: 752.8063, 最优值: 214.8991, 平均值: 414.1921, 标准差: 134.6102, 秩和检验: 1.2118e-12
AOA：最差值: 0.0060669, 最优值: 0, 平均值: 0.00033737, 标准差: 0.0013108, 秩和检验: 6.247e-10
GSA：最差值: 550.6107, 最优值: 107.2335, 平均值: 256.449, 标准差: 109.0837, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 6.4412e-18, 最优值: 4.2628e-26, 平均值: 2.5988e-19, 标准差: 1.1717e-18, 秩和检验: 1.2118e-12
HHO：最差值: 1.5056e-153, 最优值: 1.2166e-189, 平均值: 5.0185e-155, 标准差: 2.7488e-154, 秩和检验: 1.2118e-12
TLBO：最差值: 4.2094e-235, 最优值: 2.3088e-239, 平均值: 2.9163e-236, 标准差: 0, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 31345.6497, 最优值: 93.0914, 平均值: 11833.1551, 标准差: 8066.9687, 秩和检验: 1.2118e-12
函数：F5
BWO：最差值: 1.9396e-253, 最优值: 1.2793e-261, 平均值: 1.2476e-254, 标准差: 0, 秩和检验: 1
PSO：最差值: 19.5402, 最优值: 4.7078, 平均值: 9.6069, 标准差: 3.1938, 秩和检验: 3.0199e-11
AOA：最差值: 0.044329, 最优值: 2.2557e-182, 平均值: 0.0087681, 标准差: 0.015974, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 0.62272, 最优值: 2.2655e-09, 平均值: 0.020757, 标准差: 0.11369, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 5.331e-17, 最优值: 4.8381e-19, 平均值: 1.1648e-17, 标准差: 1.4123e-17, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 3.8924e-95, 最优值: 1.9819e-108, 平均值: 1.3605e-96, 标准差: 7.098e-96, 秩和检验: 3.0199e-11
TLBO：最差值: 2.7918e-112, 最优值: 1.5435e-115, 平均值: 1.6526e-113, 标准差: 5.0994e-113, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 86.6138, 最优值: 0.0081821, 平均值: 26.7168, 标准差: 27.1796, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F6
BWO：最差值: 6.206e-14, 最优值: 3.6684e-19, 平均值: 3.7484e-15, 标准差: 1.2736e-14, 秩和检验: 1
PSO：最差值: 735.448, 最优值: 77.5689, 平均值: 352.8469, 标准差: 173.3463, 秩和检验: 3.0199e-11
AOA：最差值: 28.8842, 最优值: 27.2905, 平均值: 27.9859, 标准差: 0.44877, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 163.9406, 最优值: 25.7558, 平均值: 36.6019, 标准差: 33.2075, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 28.5291, 最优值: 25.0965, 平均值: 26.6803, 标准差: 0.76805, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 0.0073894, 最优值: 3.2e-06, 平均值: 0.0012758, 标准差: 0.0019969, 秩和检验: 3.0199e-11
TLBO：最差值: 28.9443, 最优值: 28.8527, 平均值: 28.9022, 标准差: 0.026154, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 27.0758, 最优值: 26.0243, 平均值: 26.5589, 标准差: 0.30841, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F7
BWO：最差值: 4.1828e-27, 最优值: 2.0954e-30, 平均值: 2.5583e-28, 标准差: 7.5215e-28, 秩和检验: 1
PSO：最差值: 19.3792, 最优值: 2.655, 平均值: 9.3548, 标准差: 4.7822, 秩和检验: 3.0199e-11
AOA：最差值: 2.9138, 最优值: 1.8356, 平均值: 2.4748, 标准差: 0.25303, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 3.8873e-17, 最优值: 9.0711e-18, 平均值: 2.0446e-17, 标准差: 6.78e-18, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 0.75858, 最优值: 9.435e-06, 平均值: 0.37809, 标准差: 0.27301, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 5.0413e-05, 最优值: 9.5991e-08, 平均值: 1.0241e-05, 标准差: 1.2227e-05, 秩和检验: 3.0199e-11
TLBO：最差值: 6.7383, 最优值: 3.1803, 平均值: 5.1151, 标准差: 0.92889, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 0.012066, 最优值: 0.0016714, 平均值: 0.0044716, 标准差: 0.0021948, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F13
BWO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
PSO：最差值: 67.4637, 最优值: 26.2061, 平均值: 44.7766, 标准差: 10.6501, 秩和检验: 1.2118e-12
AOA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
GSA：最差值: 31.8387, 最优值: 7.9597, 平均值: 17.7766, 标准差: 5.7882, 秩和检验: 1.2088e-12
GWO：最差值: 6.2044, 最优值: 0, 平均值: 0.35312, 标准差: 1.3648, 秩和检验: 0.081523
HHO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
TLBO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
WOA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F14
BWO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
PSO：最差值: 4.9853, 最优值: 2.4299, 平均值: 3.6859, 标准差: 0.67742, 秩和检验: 1.2118e-12
AOA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
GSA：最差值: 4.5756e-09, 最优值: 2.5861e-09, 平均值: 3.6057e-09, 标准差: 5.1103e-10, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 1.5099e-14, 最优值: 7.9936e-15, 平均值: 1.3323e-14, 标准差: 2.5973e-15, 秩和检验: 4.3542e-13
HHO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
TLBO：最差值: 4.4409e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 4.3225e-15, 标准差: 6.4863e-16, 秩和检验: 1.1651e-13
WOA：最差值: 7.9936e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 4.204e-15, 标准差: 2.0723e-15, 秩和检验: 7.7452e-10
函数：F21
BWO：最差值: -1.0315, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 4.4466e-05, 秩和检验: 1
PSO：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 6.7122e-16, 秩和检验: 1.7203e-12
AOA：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 6.2926e-08, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 5.6082e-16, 秩和检验: 1.4059e-11
GWO：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 2.4521e-09, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 1.4742e-12, 秩和检验: 2.9673e-11
TLBO：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 6.7752e-16, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 1.4986e-11, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F22
BWO：最差值: -10.1532, 最优值: -10.1532, 平均值: -10.1532, 标准差: 7.743e-07, 秩和检验: 1
PSO：最差值: -2.6305, 最优值: -10.1532, 平均值: -6.7269, 标准差: 3.3781, 秩和检验: 0.6618
AOA：最差值: -2.0629, 最优值: -6.4671, 平均值: -3.7606, 标准差: 0.9115, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: -5.0552, 最优值: -5.0552, 平均值: -5.0552, 标准差: 9.0336e-16, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: -5.0552, 最优值: -10.1531, 平均值: -9.1363, 标准差: 2.0678, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: -5.0552, 最优值: -10.1531, 平均值: -5.395, 标准差: 1.2933, 秩和检验: 3.0199e-11
TLBO：最差值: -5.0552, 最优值: -10.1532, 平均值: -8.4539, 标准差: 2.4443, 秩和检验: 0.024923
WOA：最差值: -2.6305, 最优值: -10.1532, 平均值: -9.5618, 标准差: 1.839, 秩和检验: 3.0199e-11

实验结果表明：BWO算法可以提供良好的能力来平衡探索和开发阶段，以确保全局收敛，且在单峰和多峰函数方面表现良好，尤其是在可扩展性分析方面表现突出，并为复合函数提供了竞争力。

三、参考文献

[1] Changting Zhong, Gang Li, Zeng Meng. Beluga whale optimization: A novel nature-inspired metaheuristic algorithm[J]. Knowledge-Based Systems, 2022, 251: 109215.

基于白鲸优化算法的函数寻优算法相关推荐

基于蚁群算法的函数寻优算法
文章目录一.理论基础二.案例背景 1.问题描述 2.解题思路及步骤三.MATLAB程序实现 1.清空环境变量 2.初始化参数 3.构建解空间和目标函数 4.迭代寻优 5.结果显示 6.绘图四. ...
基于白骨顶鸡优化算法的函数寻优算法
文章目录一.理论基础 1.白骨顶鸡优化算法 1.1 个体随机运动 1.2 链式运动 1.3 最优个体引导运动 1.3.1 根据组长调整位置 1.3.2 领导者引领团队走向最佳区域(领导运动) 2.C ...
基于沙猫群优化算法的函数寻优算法
文章目录一.理论基础 1.沙猫群优化算法 (1)初始化种群 (2)搜索猎物(探索) (3)攻击猎物(开发) (4)探索和开发 2.SCSO算法伪代码二.仿真实验与结果分析三.参考文献一.理论基 ...
基于蜉蝣优化算法的函数寻优算法
文章目录一.理论基础 1.蜉蝣优化算法 (1)雄性蜉蝣的更新 (2)雌性蜉蝣的更新 (3)蜉蝣的交配过程 2.MA算法伪代码二.仿真实验与结果分析 1.函数测试与数值分析 2.WSN三维覆盖优化 ...
基于金豺优化算法的函数寻优算法
文章目录一.理论基础 1.金豺优化算法 (1)搜索空间公式 (2)探索阶段或搜索猎物 (3)开发阶段或围捕和突袭猎物 (4)从探索转向开发 2.GJO伪代码二.仿真实验与结果分析三.参考文献一 ...
基于果蝇优化算法的函数寻优算法
文章目录一.理论基础二.算法步骤 1.启发 2.方向和距离 3.气味浓度判断值 4.适应度评估 5.寻找最优个体 6.飞行 7.迭代优化三.案例背景问题描述四.MATLAB程序实现 1.清空 ...
基于蜂鸟优化算法的函数寻优算法
文章目录一.理论基础 1.自搜索阶段 2.引导搜索阶段 3.HOA伪代码二.仿真实验与分析三.参考文献一.理论基础蜂鸟优化算法(Hummingbirds optimization algor ...
基于藤壶交配优化算法的函数寻优算法
文章目录一.理论基础 1.藤壶交配优化算法 1.1 哈迪-温伯格(Hardy-Weinberg)法则 1.2 BMO 1.2.1 初始化 1.2.2 选择过程 1.2.3 繁殖 2.BMO算法伪代码 ...
基于阿基米德优化算法的函数寻优算法
文章目录一.理论基础 1.算法步骤 (1)初始化 (2)更新密度和体积 (3)转移算子与密度算子 (4)勘探阶段 <1> 物体之间发生碰撞 <2> 物体之间无碰撞 <3 ...

基于白鲸优化算法的函数寻优算法

文章目录