poj1061青蛙的约会

拿到这道题之后，很快就会把它转化为 ax+by=d的求解问题（a,b,d已知，求x,y)。这个问题如何求解呢。

我一开始用穷举。很显然，会TLE.

然后，看了别人的解题方法。原来这就是传说中的扩展的欧几里得问题。

用欧几里得求两个数的最大公约数大家都会。但是这个扩展的欧几里得就不那么好理解了。

在网上找的对扩展的欧几里得的理解：

扩展欧几里德算法理解（By ruiqi）
欧几里德算法很好理解了。但是扩展了一下却一直弄的不明不白。
网上关于这个的讲解是很多了。但总体说来都不是太好理解。
思索了好长时间,总结了下面的思路:(自我感觉良好了)
扩展欧几里德定理
对于与不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数。那么存在整
数 x,y 使得 gcd(a,b)=ax+by。(貌似 x,y 也是唯一的,这个我不是太清楚的)。
最重要的是怎么理解下面的代码了:
#inc lude<iostream>
using namespace std;
int x,y,q;
void extend_Eulid(int a,int b)
{
if (b==0)
{
x=1; y=0; q=a;
}
else
{
extend_Eulid(b,a%b);
int temp=x;
x=y; y=temp-a/b*y;
}
}
int main()
{
int a,b;
cin>>a>>b;
if (a<b) swap(a,b);
extend_Eulid(a,b);
printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n",q,x,a,y,b);
}
求解 x,y 的方法的理解
我们不妨设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,ab<>0 时
设 ax1 +by1 =gcd(a,b);
bx2 +(a%b)y2 =gcd(b,a%b);
根据朴素欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
则:ax 1 +by1 =bx2 +(a%b)y2 ;
即:ax 1 +by1 =bx2 +(a-(a/b)*b)y2 =ay2 +bx2 -(a/b)*by2 ;
根据恒等定理得:x1 =y2 ; y1 =x2-(a/b)*y2 ;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是递归定义了,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以
结束。
有了这个分析,extend_Eulid 函数的理解也就不难了。

理解了欧几里得，这道题算是解了一半。然后要做的就是对普通的ax+by=d(d并不一定是gcd(a,b))求解。

详细分析过程见http://blog.csdn.net/SwordHoly/article/details/4423543

做这道题，太扯了，完全是数学啊。数学，我的痛处。

/** =====================================================================================**       Filename:  1061.c**    Description:  **        Version:  1.0*        Created:  2011年12月08日 11时27分16秒*       Revision:  none*       Compiler:  gcc**         Author:  MaZheng (blog.csdn.net/mazheng1989), mazheng19891019@gmail.com*        Company:  Dalian University Of Technology** =====================================================================================*/#include<stdio.h>//please declare parameters here.
long long k,t,d;//please declare functions here.
void extend_gcd(long long a,long long b)
{if(b==0){k=1;t=0;d=a;}else{extend_gcd(b,a%b);long long temp;temp=k;k=t;t=temp-(a/b)*t;}
}
int main()
{freopen("input.txt","r",stdin);long long a,b;long long int x,y,m,n,l;//input your ...while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF){a=m-n;b=y-x;if(a<0){a=-a;b=-b;}extend_gcd(a,l);if(b%d!=0){printf("Impossible\n");}else{k=k*b/d;t=t*b/d;l=l/d;if(k>=0)k=k%l;elsek=k%l+l;if(k==0)k=l;printf("%lld\n",k);}
//      printf("%lld %lld %lld %lld %lld",x,y,m,n,l);}return 0;
}

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