文章目录

8.1 关于随机游动的积分
8.2 关于Brown运动的积分
8.5随机微分方程
- 8.5.1解的存在惟一性定理

目的:
- 引入关于Brown运动的积分,
- 论其性质
- 给出随机分析及
  - 金融学中有重要应用的Ito

8.1 关于随机游动的积分

关于简单的随机游动的积分.
X1,X2,…,X_1,X_2,…,X1,X2,…,独随,
- P{Xi=1}=P{Xi=−1}=12P\{X_i=1\}=P\{X_i=-1\}=\frac 12P{Xi=1}=P{Xi=−1}=21,
  Sn=X1+...+XnS_n=X_1+...+X_nSn=X1+...+Xn
- XnX_nXn为第nnn次赌博结果(=1贏1元,=-1输1元)
- Fn=σ(X1,…,Xn)(由{Xi,1≤i≤n}F_n=\sigma(X_1,…,X_n)(由\{X_i,1\le i\le n\}Fn=σ(X1,…,Xn)(由{Xi,1≤i≤n}生成的σ\sigmaσ代数),
  - 可理解为包含X1,…,XnX_1,…,X_nX1,…,Xn的信息.
BnB_nBn是Fn−1F_{n-1}Fn−1可测的随变序列,
- 第nnn次赌博时所下赌注,它只能用第n−1n-1n−1次及以前的信息,不能用第n次赌博的结果.
时刻nnn的收益ZnZ_nZn为

称ZnZ_nZn为BnB_nBn关于SnS_nSn的积分

{Zn}\{Z_n\}{Zn}是关于FnF_nFn的鞅,
若m<nm<nm<n,则
E(Zn∣Fm)=ZmE(Z_n|F_m)=Z_mE(Zn∣Fm)=Zm
- E(Xm+2Bm+2∣Fm)=E(E(Xm+2Bm+2∣Fm+1)∣Fm)=0E(X_{m+2}B_{m+2}|F_m)=E(E(X_{m+2}B_{m+2}|F_{m+1})|F_m)=0E(Xm+2Bm+2∣Fm)=E(E(Xm+2Bm+2∣Fm+1)∣Fm)=0
- 哈哈我太机智
特别地,EZn=0EZ_n=0EZn=0.
此外,若假定E(Bn2)<∞E(B_n^2)<\inftyE(Bn2)<∞,则
var(Zn)=E(Zn2)=∑i=1nE(Bi2)var(Z_n)=E(Z_n^2)=\sum_{i=1}^nE(B_i^2)var(Zn)=E(Zn2)=i=1∑nE(Bi2)

如果i<ji<ji<j,则Bi,Xi,BjB_i,X_i,B_jBi,Xi,Bj都是Fj−1F_{j-1}Fj−1可测的,
- 且XjX_jXj独立于Fj−1F_{j-1}Fj−1
于是由定理1.12,得
E(BiBjXiXj)=E[E(BiBjXiXj∣Fj−1)]=E[BiBjXiE(Xj)]=0E(B_iB_jX_iX_j)=E[E(B_iB_jX_iX_j|F_{j-1})]=E[B_iB_jX_iE(X_j)]=0E(BiBjXiXj)=E[E(BiBjXiXj∣Fj−1)]=E[BiBjXiE(Xj)]=0

8.2 关于Brown运动的积分

定义关于Brown运动的积分∫0TX(t)dB(t)(∫XdB)\int_0^TX(t)dB(t)(\int XdB)∫0TX(t)dB(t)(∫XdB)
{B(t)}\{B(t)\}{B(t)}是一维标准B
- 也记{Wt}\{W_t\}{Wt}
先看非随机的简单过程X(t)X(t)X(t)
- X(t)X(t)X(t)是简单函数(不依赖B(t)B(t)B(t)
由简单函数的定义,存在[0,T][0,T][0,T]的分割
- 0=t0<t1<⋯<tn=T0=t_0<t_1<\cdots<t_n=T0=t0<t1<⋯<tn=T
- c0,c1,⋯,cn−1c_0,c_1,\cdots,c_{n-1}c0,c1,⋯,cn−1
- 使

或表示为

由Brown的独增性知
- (8.2.2)是啥分布的随机变量
- 均值0,方差为

var(∫XdB)=E{∑i=0n−1ci[B(ti+1)−B(ti)]}2var(\int XdB)=E\{\sum_{i=0}^{n-1}c_i[B(t_{i+1})-B(t_i)]\}^2var(∫XdB)=E{i=0∑n−1ci[B(ti+1)−B(ti)]}2
=∑i=0n−1ci2(ti+1−ti)=\sum_{i=0}^{n-1}c_i^2(t_{i+1}-t_i)=i=0∑n−1ci2(ti+1−ti)

取极限可将定义推广到一般的非随机函数X(t)X(t)X(t)
但要定义的是随机过程的积分,
- 将简单函数中的常数cic_ici,
- 用随变ξi\xi_iξi来代替,
- 并要求ξi\xi_iξi是Fti\mathscr{F}_{t_i}Fti可测的
- Ft=σ{B(u),0≤u≤t}\mathscr{F}_t=\sigma\{B(u),0\le u\le t\}Ft=σ{B(u),0≤u≤t}
- 于是,由Brown运动的鞅性质得

定义8.1
{X(t),0≤t≤T}\{X(t),0≤t≤T\}{X(t),0≤t≤T}是简单随机过
即存在[0,T][0,T][0,T]的分割0=t0<t1<⋯<tn=T0=t_0<t_1<\cdots<t_n=T0=t0<t1<⋯<tn=T
随变ξ0\xi_0ξ0,ξ1\xi_1ξ1,⋯\cdots⋯,ξn−1\xi_{n-1}ξn−1
- 使ξ0\xi_0ξ0是常数为啥是常数！

我觉得可以近似理解成随机过程初值是定下来的啊!

ξi\xi_iξi依赖于B(t),t≤tiB(t),t≤t_iB(t),t≤ti
但不依赖B(t)B(t)B(t),t>tit>t_it>ti,i=0,1,⋯,n−1i=0,1,\cdots,n-1i=0,1,⋯,n−1
且
X(t)=ξ0I0(t)+∑i=0n−1ξiI(ti,ti+1](t)(8.2.5)X(t)=\xi_0I_0(t)+\sum_{i=0}^{n-1}\xi_iI_{(t_i,t_{i+1}](t)}\tag{8.2.5}X(t)=ξ0I0(t)+i=0∑n−1ξiI(ti,ti+1](t)(8.2.5)
此时,Ito积分∫0TXdB\int_0^TXdB∫0TXdB定义为
∫0TX(t)dB(t)=∑i=0n−1ξi[B(ti+1)−B(ti)](8.2.6)\int_0^TX(t)dB(t)=\sum_{i=0}^{n-1}\xi_i[B(t_{i+1})-B(t_i)]\tag{8.2.6}∫0TX(t)dB(t)=i=0∑n−1ξi[B(ti+1)−B(ti)](8.2.6)
简单过程的积分是个随变,满足

性质8.1
X(t)X(t)X(t),Y(t)Y(t)Y(t)是简单过程,
- 则

∫0TI[a,b]dB(t)=B(b)−B(a)\int_0^TI_{[a,b]}dB(t)=B(b)-B(a)∫0TI[a,b]dB(t)=B(b)−B(a)
- I[a,b](t)I_{[a,b]}(t)I[a,b](t)是[a,b][a,b][a,b]的示性函数
如果E(ξi)<∞(i=0,1,…,n−1)E(\xi_i)<\infty(i=0,1,…,n-1)E(ξi)<∞(i=0,1,…,n−1),则
E[∫0TX(t)dB(t)]=0E\left[\int_0^TX(t)dB(t)\right]=0E[∫0TX(t)dB(t)]=0
如果E(ξi)<∞(i=0,1,…,n−1)E(\xi_i)<\infty(i=0,1,…,n-1)E(ξi)<∞(i=0,1,…,n−1)则

E[∫0TX(t)dB(t)]2=∫0TE[X2(t)]dtE\left[\int_0^TX(t)dB(t)\right]^2=\int_0^TE[X^2(t)]dtE[∫0TX(t)dB(t)]2=∫0TE[X2(t)]dt

只证(4)
用Cauchy-schwarz不等式,得

E[∣ξi(B(ti+1)−B(ti))∣]≤E(ξi2)E[B(ti+1)−B(ti)]2<∞E\left[|\xi_i(B(t_{i+1})-B(t_i))|\right]\le \sqrt{E\left(\xi_i^2\right)E\left[B(t_{i+1})-B(t_i)\right]^2}<\inftyE[∣ξi(B(ti+1)−B(ti))∣]≤E(ξi2)E[B(ti+1)−B(ti)]2<∞

于是

var(∫0TXdB)=E[∑i=0n−1ξi(B(ti+1)−B(ti))]2var(\int_0^TXdB)=E\left[\sum_{i=0}^{n-1}\xi_i(B(t_{i+1})-B(t_i))\right]^2var(∫0TXdB)=E[i=0∑n−1ξi(B(ti+1)−B(ti))]2
=E[∑i=0n−1ξi(B(ti+1)−B(ti))⋅∑i=0n−1ξi(B(ti+1)−B(ti))]=E\left[\sum_{i=0}^{n-1}\xi_i(B(t_{i+1})-B(t_i))\cdot \sum_{i=0}^{n-1}\xi_i(B(t_{i+1})-B(t_i))\right]=E[i=0∑n−1ξi(B(ti+1)−B(ti))⋅i=0∑n−1ξi(B(ti+1)−B(ti))]

=∑i=0n−1E[ξi2(B(ti+1)−B(ti))2]+2∑i<jE[ξiξj(B(ti+1)−B(ti))(B(tj+1)−B(tj))](8.2.7)=\sum_{i=0}^{n-1}E\left[\xi_i^2\left(B(t_{i+1})-B(t_i)\right)^2\right]+2\sum_{i<j}E\left[\xi_i\xi_j(B(t_{i+1})-B(t_i))(B(t_{j+1})-B(t_j))\right]\tag{8.2.7}=i=0∑n−1E[ξi2(B(ti+1)−B(ti))2]+2i<j∑E[ξiξj(B(ti+1)−B(ti))(B(tj+1)−B(tj))](8.2.7)

由Brown的独增性及关于ξi\xi_iξi的假定
用定理1.12(1)
E[ξiξj(B(ti+1)−B(ti))(B(tj+1)−B(tj))]=0E\left[\xi_i\xi_j(B(t_{i+1})-B(t_i))(B(t_{j+1})-B(t_j))\right]=0E[ξiξj(B(ti+1)−B(ti))(B(tj+1)−B(tj))]=0
所以,(8.2.7)中的最后一项为零.
由 Brown运动的鞅性质,得

这不就是

=∑i=0n−1∫titi+1E[ξi2]dt=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{t_i}^{t_{i+1}}E[\xi_i^2]dt=i=0∑n−1∫titi+1E[ξi2]dt

=∑i=0n−1∫titi+1E[X2(t)]dt=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{t_i}^{t_{i+1}}E[X^2(t)]dt=i=0∑n−1∫titi+1E[X2(t)]dt

现将上述随机积分定义扩展到一般的可测适应随机过程类

定义8.2
X(t),t≥0)X(t),t\ge 0)X(t),t≥0)是随机过程
{Ft,t≥0}\{\mathscr{F}_t,t\ge 0\}{Ft,t≥0}是σ\sigmaσ代数流
对任何ttt,X(t)X(t)X(t)是Ft\mathscr{F}_tFt可测的
则称{X(t)}\{X(t)\}{X(t)}是{Ft}\{\mathscr{F_t}\}{Ft}适应的

记B\mathscr{B}B为[0,∞)[0,\infty)[0,∞)上的 Borel σ\sigmaσ代数

V={h:{h}是定义在[0,∞)上的B×F可测的适应过程,满足E[∫0Th2(s)ds]<∞}\mathscr{V}=\{h:\{h\}是定义在[0,\infty)上的\mathscr{B}\times \mathscr{F}可测的适应过程,满足E\left[\int_0^T h^2(s)ds\right]<\infty\}V={h:{h}是定义在[0,∞)上的B×F可测的适应过程,满足E[∫0Th2(s)ds]<∞}
将随机积分的定义按下述步聚扩展到V\mathscr{V}V

首先,令h∈Vh\in\mathscr{V}h∈V有界,且对每个w∈Ωw\in \Omegaw∈Ω
h(⋅,w)h(\cdot,w)h(⋅,w)连续。
则存在简单过程{φn}\{\varphi_n\}{φn}
其中

φn=∑jh(tj,w)⋅1[tj,tj+1](t)∈V\varphi_n=\sum_jh(t_j,w)\cdot 1_{[t_j,t_{j+1}]}(t)\in\mathscr{V}φn=j∑h(tj,w)⋅1[tj,tj+1](t)∈V

使当n→∞n\to \inftyn→∞时,对每个w∈Ωw\in\Omegaw∈Ω

∫0T(h−φn)2dt→0\int_0^T (h-\varphi_n)^2dt\to 0∫0T(h−φn)2dt→0

有界收敛定理得E[∫0T(h−φn)2dt]→0E\left[\int_0^T (h-\varphi_n)^2dt\right]\to 0E[∫0T(h−φn)2dt]→0

其次,令h∈Vh\in \mathscr{V}h∈V有界,
可证,存在hn∈Vh_n\in\mathscr{V}hn∈V有界
且对每个w∈Ωw\in\Omegaw∈Ω,∀n\forall n∀n
hn(⋅,w)h_n(\cdot,w)hn(⋅,w)连续
使得

E[∫0T(h−hn)2dt]→0(8.2.8)E\left[\int_0^T(h-h_n)^2dt\right]\to 0\tag{8.2.8}E[∫0T(h−hn)2dt]→0(8.2.8)

事实上,设∣h(t,w)∣≤M|h(t,w)|\le M∣h(t,w)∣≤M,∀(t,w)\forall (t,w)∀(t,w)
定义

hn(t,w)=∫0tψn(s−t)h(s,w)dsh_n(t,w)=\int_0^t\psi_n(s-t)h(s,w)dshn(t,w)=∫0tψn(s−t)h(s,w)ds

ψn\psi_nψn是RRR上非负连续函,
使得对所有的x(コ)()=0且
(x)dx=1,则对每个a∈2,hn(・,o)连续且1h,(,o)1≤M.、由h∈y
可以看出hn∈y,并且当n→∞时,对每个a∈,有
h,(s, a)-h(s, a)]d
因此再次利用有界收剑定理得式(8.2.8)。

最后,对∀f∈V\forall f\in\mathscr{V}∀f∈V,
存在有界列hn∈Vh_n\in\mathscr{V}hn∈V
使

KaTeX parse error: Expected '}', got '\right' at position 37: …)-h_n(t,w)]^2dt\̲r̲i̲g̲h̲t̲}\to 0

事实上,只要令
若f(t,o)<
若一n≤f(t,o)≤
若f(t,o)>
利用控制收敛定理即得

好多没写

例8.2
求J=∫01tdB(t)J=\int_0^1 tdB(t)J=∫01tdB(t)的均值与方差
因为∫01t2dt<∞\int_0^1 t^2dt<\infty∫01t2dt<∞,且ttt是Ft=σ{B(s),0≤s≤t}\mathscr{F}_t=\sigma\{B(s),0\le s\le t\}Ft=σ{B(s),0≤s≤t}适应的.
所以,Ito积分JJJ是适定的
均值0,
方差为E(J2)=∫01t2dt=13E(J^2)=\int_0^1t^2dt=\frac 13E(J2)=∫01t2dt=31
例8.3
估计使得积分(1-D)dB(D适定的a的值
只要』「(1ーの-」む<,即、(1ーD由,上述16积分就适定
所以只要a<即可

8.5随机微分方程

上节定义Ito过程,
本节将上节的随机积分的形式稍做变化
考虑

这就是所谓随机微分方程,
式(8.5.1)的意义是下述的随机积分方程的微分形式.

自然会问,随机微分方程的解是否存在?
如果存在,是否惟一?有什么性质?

8.5.1解的存在惟一性定理

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