Monte Carlo Algorithms

Calculating Pi

假设我们有一个随机数生成器，它可以随机生成[-1,1]之间的实数，我们每次生成两个随机数，一个作为x，一个作为y，这样我们就有了一个点，所有的点都会落在蓝色的正方形里面，由于x和y都是在[-1,1]之间均匀分布，所以正方形中所有的点都有相同的概率密度，正方形中包含一个绿色的原，半径为1，圆心是原点。刚刚随机生成的点可能会落在圆里面，可能会落在圆外面。这里我们不难得到落在圆中的概率为π4\frac{\pi}{4}4π。
假设我们在正方形区域中随机抽样n个点，那么点落在圆中的期望就是Pn=πn4Pn=\frac{\pi n}{4}Pn=4πn。当然这里只是期望，可能我们抽五个点，他们都不在圆中。
那么我们怎么判断点是不是在圆中呢？我们可以使用圆的方程可以得到下面一个不等式：x2+y2≤1x^2+y^2 \leq 1x2+y2≤1
假设我们均匀随机抽样n个点，通过上述不等式，我们发现有m个点在圆中。如果我们的抽样n非常大，这样我们就可以观测到m≈πn4m\approx \frac{\pi n}{4}m≈4πn，所以我们得到π≈4mn\pi\approx\frac{4m}{n}π≈n4m。大数定律保证蒙特卡洛的正确性，当n→∞n \rightarrow \inftyn→∞，4mn→π\frac{4m}{n}\rightarrow\pin4m→π。
这样我们可以得出结论，当我们在正方形中随机抽样n个点，有m个点落在圆中，我们就可以将π\piπ近似为4mn\frac{4m}{n}n4m。这里我们需要保证抽样是均匀的，抽到所有点的概率都相同，否则就不成立。

Buffon’s Needle Problem

这也是一个计算Pi的例子，通过画几条平行线，然后撒一把针，通过针与平行线相交的个数可以推算出pi。
- 先画一些平行线，两个平行线之间的距离为d
- 取一些针，针的长度为l。
- 随机把针抛到纸上，针的长度是l，针可能与平行线相交也可能不相交。
- 假设针的位置和角度都是均匀随机的，那么针和平行线有一定概率相交，通过微积分可以计算出相交的概率为P=2lπdP=\frac{2l}{\pi d}P=πd2l。
上面我们得到了针与平行线相交的概率$ P=\frac{2l}{\pi d}，这样我们就可以得到期望，这样我们就可以得到期望，这样我们就可以得到期望Pn = \frac{2ln}{\pi d}，这样我们不难计算，这样我们不难计算，这样我们不难计算\pi \approx \frac{2ln}{dm}$

近似求积分

假设给我们一个函数：f(x)=11+sin(x)⋅(logex)2f(x)=\frac{1}{1+sin(x)\cdot (log_e x)^2}f(x)=1+sin(x)⋅(logex)21
计算定积分：I=∫0.83f(x)dxI = \int_{0.8}^{3} f(x)dxI=∫0.83f(x)dx
这个函数太复杂了我们没有办法求它的定积分，这时候我们就需要用数值方法近似求它的定积分了，蒙特卡洛就是最常用的数值方法。
- 我们首先在[0.8,3]上均匀随机抽样n个样本
- 然后我们计算n个样本的函数值
- 然后用Qn=(b−a)⋅1nΣi=1nf(xi)Q_n=(b-a)\cdot\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^{n}f(x_i)Qn=(b−a)⋅n1Σi=1nf(xi)
- 然后就可以使用QnQ_nQn来近似定积分。
刚刚计算的是一元函数的定积分，下面我们看看多元函数的定积分
- 假设f(x)是一个多元函数，自变量是向量x
- 计算函数在集合Ω\OmegaΩ上的定积分：I=∫Ωf(x)dxI=\int_{\Omega}f(x)dxI=∫Ωf(x)dx
  - 从集合Ω\OmegaΩ中随机抽样n个向量
  - 计算Ω\OmegaΩ集合的体积：V=∫ΩdxV=\int_{\Omega}dxV=∫Ωdx
  - 然后计算Qn=V⋅1nΣi=1nf(i)Q_n=V\cdot\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nf(i)Qn=V⋅n1Σi=1nf(i)
  - 然后我们使用QnQ_nQn来近似定积分

近似求期望

定义X为d维的随机变量
P(x)为概率密度函数，它描述了变量X在某个点附近取值的可能性。有这样的性质：∫Rdp(x)dx=1\int_{\mathbb{R}^d}p(x)dx = 1∫Rdp(x)dx=1
使用蒙特卡洛来近似求期望
- 根据概率密度函数p(x)p(x)p(x)来随机抽样
- 计算每个样本f(xi)f(x_i)f(xi)的值，然后求所有n个函数值的平均，将平均值记为：QnQ_nQn
- 使用QnQ_nQn作为期望的估计。

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蒙特卡洛近似的一些例子

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Buffon’s Needle Problem

近似求积分

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