1. 圆周率估算

1.1 理论

边长为2的正方形的横坐标范围为[-1,1]，纵坐标为[-1,1]。
数据点（x，y）的横坐标从[-1,1]中均匀抽样得到，纵坐标从[-1,1]中均匀抽样得到，则数据点落在圆内的概率为：p=A2A1=π4p=\frac{A_2}{A_1}=\frac{\pi}{4}p=A1A2=4π
计算误差为：o(1n)o(\frac{1}{\sqrt{n}})o(n1)

则计算圆周率的流程为：

设定一个大数n，计数器m。
for i = 1 to n：x←[−1,1]y←[−1,1]m←m+1(当x2+y2≤1时)x\gets[-1,1]\\y\gets[-1,1]\\ \\m\gets m+1(当x^2+y^2≤1时)x←[−1,1]y←[−1,1]m←m+1(当x2+y2≤1时)
π←4mn\pi \gets \frac{4m}{n}π←n4m

1.2 代码实现

import random
n = 10000000
m = 0
for i in range(n):x = random.uniform(-1,1)y = random.uniform(-1,1)if x**2 + y**2 <= 1:m += 1
print(4*m/n)

3.1415656

2. 近似积分

2.1 一元积分（univariate）

计算如下积分:I=∫abf(x)dxI=\int_a^b{f(x)}d_xI=∫abf(x)dx

从[a,b]中进行n次抽样，得到:x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn
计算：Qn=(b−a)⋅1n⋅∑i=1nf(xi)Q_n=(b-a)\cdot \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n f(x_i)Qn=(b−a)⋅n1⋅i=1∑nf(xi)
可用Qn去近似积分I，因为大数定律可以保证其误差反比于：n\sqrt nn
代码为：

import random
def f(x):return x**2
a = -1
b = 1
n = 100000000
sum_num = 0
for i in range(n):x = random.uniform(a,b)sum_num += f(x)
Q = (b-a)* sum_num / n
print(Q)

结果为：

0.6666073503023225

2.2 多元积分（multivariate）

求取积分：I=∫Ωf(X)dXI=\int_{\Omega}f(X)d_XI=∫Ωf(X)dX

从Ω\OmegaΩ中进行n次抽样，得到:X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1,X2,...,Xn
计算：V=∫ΩdXV=\int_\Omega d_XV=∫ΩdX
计算：Qn=V⋅1n⋅∑i=1nf(Xi)Q_n=V\cdot \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n f(X_i)Qn=V⋅n1⋅i=1∑nf(Xi)
可用Qn去近似积分I，因为大数定律可以保证其误差反比于：n\sqrt nn
求取下式积分：f(x,y)={1,x2+y2≤10,otherwiseΩ=[−1,1]⋅[−1,1]I=∫Ωf(x,y)dxdyf(x,y)=\left\{ \begin{aligned} 1&, x^2+y^2≤1 \\ 0&,otherwise \end{aligned} \right.\\ \Omega=[-1,1]\cdot[-1,1]\\I=\int_{\Omega}f(x,y)d_xd_yf(x,y)={10,x2+y2≤1,otherwiseΩ=[−1,1]⋅[−1,1]I=∫Ωf(x,y)dxdy
代码为：

def f(x,y):if x**2 + y**2 <= 1:return 1return 0
a1 = -1
a2 = -1
b1 = 1
b2 = 1
n = 10000000
sum_num = 0
for i in range(n):x = random.uniform(a1,b1)y = random.uniform(a2,b2)sum_num += f(x,y)
V = 2*2
Q = V*sum_num / n
print(Q)

3.1415416

3 期望估计（Estimate of Expection）

X为d维随机变量
P（X）为X的概率密度函数：P(X)←probabilitydensityfunctionP(X)\gets probability\quad density\quad functionP(X)←probabilitydensityfunction
∫RP(X)dX=1\int_RP(X)d_X=1∫RP(X)dX=1
计算f(X)的期望：

依据P(X)进行随机抽样，得到：X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1,X2,...,Xn
计算：Qn=1n⋅∑i=1nf(Xi)Q_n=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n f(X_i)Qn=n1⋅i=1∑nf(Xi)
Qn≈EX∼P[f(X)]Q_n\approx E_{X\sim P}[f(X)]Qn≈EX∼P[f(X)]

代码为：

n = 10000000
sum_num = 0
for i in range(n):x = random.normalvariate(2,1)sum_num += x
print(sum_num/n)

2.000336379227587

本文部分内容为参考此视频。

by CyrusMay 2022 04 04

生命是华丽错觉
时间是贼偷走一切
————五月天（如烟）————

数学理论—— 蒙特卡洛近似相关推荐

计算机科学数学理论浅谈 (转载）
[来源:TSTC文档中心] 计算机自从其诞生之日起,它的主要任务就是进行各种各样的科学计算.文档处理,数据处理,图像处理,硬件设计, 软件设计等等,都可以抽象为两大类:数值计算与非数值计算.作为研究计 ...
【信息科学技术与创新】数据压缩的理论方法与现实意义信息论压缩编码通信的数学理论 Huffman编码 LZ算法虚幻引擎与数据压缩
数据压缩的理论方法与现实意义摘要首先通过信息论引出数据压缩编码的理论方法接着结合目前技术发展分析压缩编码的现实意义最后总结思考未来通信与存储的压缩方法 Navigator 数据压缩的理论方法与 ...
计算机科学数学理论浅谈
计算科学数学理论浅谈以前,总是对于数学的学习嗤之以鼻,认为没有很大的实用性,这也是为何后来跨专业考研的一个重要动机,但是随着后续学习的深入,逐渐体会到了数学在现实工作中的分量,而这种对思考的能力的 ...
菲尔兹奖数学家丘成桐：人工智能中的数学理论尚无很大突破
来源:机器人 10月17日,在2019中关村论坛上,菲尔兹奖首位华人获得者.美国国家科学院院士.哈佛大学教授丘成桐发表主旨演讲.他呼吁国家应重视基础科学和数学的发展.一个国家的强大和长治久安,离不开强 ...
深入理解张正友相机标定法：数学理论详细推导
最近在项目中需要在激光雷达(Lidar)和相机(Camera)之间进行标定,即需要标定出相机内参和外参,使用的标定方法是张正友标定法,这里给出其数学理论推导过程. 论文原文:<A Flexibl ...
从文本分类问题中的特征词选择算法追踪如何将数学知识，数学理论迁移到实际工程中去...
博文转载请注明作者和出处(作者:finallyliuyu :出处博客园) 附:<卡方特征词选择算法> <DF特征词选择算法> 一.数学背景将数学知识.数学理论以及数学思想迁移 ...
计算数学与数学理论专栏【简介】
计算数学与数学理论专栏 (简介) 文章目录计算数学与数学理论专栏 (简介) 一.离散(discrete)与计算数学二.现代数学理论 2.0 概述与杂论 2.1 代数 2.2 分析 2.3 几何 2 ...
蒙特卡洛算法_MCMC、蒙特卡洛近似和Metropolis算法简介
MCMC 是Markov Chain Monte Carlo 的简称,但在传统模拟中有一个很重要的假设是样本是独立的(independent samples),这一点在贝叶斯统计尤其是高纬度的模型中很 ...
一文读懂APS系统的核心算法和数学理论
APS系统拥有以数学模型为基础的最强算法,可以满足更高难度.更广泛的需求.但它不是可以直观理解的方法,真正的难点不在于把算法变成软件,而是在于寻找和证明这个算法.因此,各APS公司对其核心算法和数学理 ...

数学理论—— 蒙特卡洛近似

数学理论—— 蒙特卡洛近似

1. 圆周率估算

1.1 理论

1.2 代码实现

2. 近似积分

2.1 一元积分（univariate）

2.2 多元积分（multivariate）

3 期望估计（Estimate of Expection）

数学理论—— 蒙特卡洛近似相关推荐

最新文章

热门文章