复变函数与积分变换

第一章：复数与复变函数
- 复数
- - 复数的基本概念
  - 复数的四则运算
  - 复平面
- 复数的三角表示
- - 复数的模与辐角
  - 复数模的三角不等式
  - 复数的三角表示
  - 复数的三角表示作乘除法
  - 复数的乘方与开方
- 平面点集
- - 开集与闭集
  - 区域
  - 平面曲线
- 无穷大与复球面
- 复变函数
- - 概念
  - 复变函数的极限与连续性
  - 连续
- 小结
第二章：解析函数
- 解析函数的概念
- - 复变函数的导数
  - 解析函数的概念与求导法则
  - 柯西-黎曼方程（C-R方程）
- 解析函数与调和函数的关系
- - 调和函数的概念
  - 共轭函数函数
- 初等函数
第三章：复变函数的积分
- 复积分的概念
- - 复积分的定义
  - 复积分的基本性质
  - 复积分的计算
- 柯西积分定理
- - 柯西基本定理
  - 闭路变形定理
  - 复合闭路定理
  - 路径无关性
  - 原函数
- 柯西积分公式
- - 柯西积分公式
- 解析函数的高阶导数
- - 高阶导数定理
第四章：解析函数的级数表示
- 复数项级数
- - 复数序列
  - 复数项级数
- 复变函数项级数
- - 基本概念
  - 幂级数
  - 幂级数的性质
- 泰勒级数
- - 泰勒定理
  - 将函数展开为泰勒级数的方法
- 洛朗级数
- - 含有负幂次项的“幂级数”
  - 洛朗定理
  - 将函数展开为洛朗级数的方法
第五章：留数及其应用
- 孤立奇点
- - 引言
  - 零点
  - 孤立奇点
  - 孤立奇点的分类
  - 如何进行孤立奇点的分类
  - 如何判断极点的阶数
- 留数
- - 留数的概念
  - 留数的计算方法
  - 留数定理
第八章：傅里叶变换
- 傅里叶变换的概念
- - 非周期函数的傅里叶变换
- 单位冲激函数
- - 为什么要引入单位冲激函数
  - 单位冲激函数的概念及性质
  - 单位冲激函数的傅里叶变换
  - 周期函数的傅里叶变换
- 傅里叶变换的性质
- - 基本性质
  - 卷积与卷积定理

第一章：复数与复变函数

复数

复数的基本概念

复数：z=x+iy （x,y是任意实数，称为实部和虚部）
Re z = x, Im z = y.
实数：z=x
纯虚数：z=iy
相等：当且仅当x1=x2且y1=y2
共轭复数：z‾\overline{z}z=x-iy

复数的四则运算

加法：z1z_1z1-z2z_2z2=(x1x_1x1-x2x_2x2)+i(y1y_1y1+y2y_2y2)
乘法：z1z_1z1*z2z_2z2=（x1x_1x1x2x_2x2-y1y_1y1y2y_2y2)+i(x1x_1x1y2y_2y2+x2x_2x2y1y_1y1)
分母有理化：z1z2\frac{z_1}{z_2}z2z1=z1z2‾z2z2‾\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}z2z2z1z2
共轭复数运算性质：
z1+z2‾\overline{z_1+z_2}z1+z2=z1‾\overline{z_1}z1 + z2‾\overline{z_2}z2

z1∗z2‾\overline{z_1*z_2}z1∗z2=z1‾\overline{z_1}z1 * z2‾\overline{z_2}z2

z1z2‾\overline{\frac{z_1}{z_2}}z2z1=z1‾z2‾\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}z2z1(z2‾≠0\overline{z_2}\ne 0z2=0)

zz‾\overline{z}z=x²+y²=(Re z)² + (Im z)²

Re z=12\frac{1}{2}21(z+z‾\overline{z}z) ，Im z=12i\frac{1}{2i}2i1(z-z‾\overline{z}z)

例：
设z1z_1z1,z2z_2z2是任意两个复数，求证：2Re(z1z_1z1z2‾\overline{z_2}z2)=z1z_1z1z2‾\overline{z_2}z2+z1‾z2\overline{z_1}z_2z1z2
证：
利用公式：Re z=12\frac{1}{2}21(z+z‾\overline{z}z)
2Re(z1z_1z1z2‾\overline{z_2}z2)=z1z_1z1z2‾\overline{z_2}z2+z1z2‾‾\overline{z_1\overline{z_2}}z1z2

复平面

横轴上的点表示实数，纵轴上的点表示纯虚数
一个复数 z=z+iy 与一个有序实数对（x,y) 一一对应

复数的三角表示

复数的模与辐角

向量的长度（模）：|z|
辐角：Arg z
主辐角：arg z （-π，π】
Arg z=arg z + 2kπ

|z| = |z‾\overline{z}z|
arg z‾\overline{z}z = -arg z
|z|² = zz‾\overline{z}z

argz{arctanyx,第一四象限arctanyx+π第二象限arctanyx−π第三象限arg z\begin{cases} arctan\frac{y}{x} , & 第一四象限\\ arctan\frac{y}{x} + π & 第二象限\\ arctan\frac{y}{x} - π & 第三象限 \end{cases}argz⎩⎪⎨⎪⎧arctanxy,arctanxy+πarctanxy−π第一四象限第二象限第三象限

复数模的三角不等式

||z1z_1z1| - |z2z_2z2|| ≤\leq≤ |z1z_1z1 - z2z_2z2| ≤\leq≤ |z1z_1z1| + |z2z_2z2|
||z1z_1z1| - |z2z_2z2|| ≤\leq≤ |z1z_1z1 + z2z_2z2| ≤\leq≤ |z1z_1z1| + |z2z_2z2|

证：
|z1z_1z1 + z2z_2z2|²
= (z1z_1z1 + z2z_2z2)(z1‾\overline{z_1}z1 + z2‾\overline{z_2}z2)
=z1z_1z1z1‾\overline{z_1}z1 + z2z_2z2z2‾\overline{z_2}z2 + z1z_1z1z2‾\overline{z_2}z2 + z2z_2z2z1‾\overline{z_1}z1
=|z1z_1z1|² + |z2z_2z2|² + 2Re(z1z_1z1z2‾\overline{z_2}z2)
又因为
| Re(z1z_1z1z2‾\overline{z_2}z2) | ≤\leq≤ | z1z_1z1z2‾\overline{z_2}z2 |=|z1z_1z1||z2‾\overline{z_2}z2|=|z1z_1z1||z2z_2z2|
所以
|z1z_1z1 + z2z_2z2|² ≤\leq≤ |z1z_1z1|² + |z2z_2z2|² + 2|z1z_1z1||z2z_2z2|=(|z1z_1z1| + |z2z_2z2|)²
以及
|z1z_1z1 + z2z_2z2|² ≥\ge≥ |z1z_1z1|² + |z2z_2z2|² - 2|z1z_1z1||z2z_2z2|=(|z1z_1z1| - |z2z_2z2||²

复数的三角表示

z = r(cosθ + i sinθ)
r=|z| , θ=Arg z;

例：设z = r(cosθ + i sinθ).求1z\frac{1}{z}z1的三角表示
解：
1z\frac{1}{z}z1=z‾∣z∣2\frac{\overline{z}}{|z|^2}∣z∣2z
|z| = r, z‾\overline{z}z=r(cosθ - i sinθ)
1z\frac{1}{z}z1=1r\frac{1}{r}r1(cosθ - i sinθ)=1r\frac{1}{r}r1[cos(-θ) + i sin(-θ)]

复数的三角表示作乘除法

z1z_1z1z2z_2z2 = r1r_1r1r2r_2r2[cos(θ1+θ2)(θ_1+θ_2)(θ1+θ2) + sin(θ1+θ2)(θ_1+θ_2)(θ1+θ2)]
|z1z_1z1z2z_2z2|=r1r_1r1r2r_2r2=|z1z_1z1||z2z_2z2|
Arg(z1z_1z1*z2z_2z2) = θ1+θ2θ_1 + θ_2θ1+θ2 +2kπ = Arg z1z_1z1 +Arg z2z_2z2

z1z2\frac{z_1}{z_2}z2z1=r1r2\frac{r_1}{r_2}r2r1[cos(θ1−θ2)(θ_1-θ_2)(θ1−θ2) + sin(θ1−θ2)(θ_1-θ_2)(θ1−θ2)]
|z1z2\frac{z_1}{z_2}z2z1|=∣z1∣∣z2∣\frac{|z_1|}{|z_2|}∣z2∣∣z1∣
Argz1z2\frac{z_1}{z_2}z2z1= Arg z1z_1z1 - Arg z2z_2z2

arctanx + arctan1x\frac{1}{x}x1 = π2\frac{\pi}{2}2π
arctanx是奇函数

复数的乘方与开方

z²= r²(cosnθ + i sinnθ)
棣莫弗公式：(cosθ + i sinθ)² = (cosnθ + i sinnθ)

wⁿ=z
w=r1nr^\frac{1}{n}rn1[cos(1n\frac{1}{n}n1(θ+2kπ)) + i (cos(1n\frac{1}{n}n1(θ+2kπ))]
任意一个不为0的复数开n次方有n个值（根），在复平面上这n个点形成一个以原点为中心的正n边形的顶点，它们同原点的距离为∣z∣1n|z|^\frac{1}{n}∣z∣n1, 其中一个点的辐角是1n\frac{1}{n}n1arg z

例：求解方程z³-2=0;
解：
z³=2
z=2132^\frac{1}{3}231
z=[2(cos0+isin0)]13[2(cos0 + i sin0)]^\frac{1}{3}[2(cos0+isin0)]31=23\sqrt[3]{2}32(cos2kπ3\frac{2kπ}{3}32kπ + i sin2kπ3\frac{2kπ}{3}32kπ)
k=0,1,2,其他情况重复
所以方程有三个解23\sqrt[3]{2}32，23\sqrt[3]{2}32（-12\frac{1}{2}21+3i2\frac{\sqrt{3}i}{2}23i),23\sqrt[3]{2}32（-12\frac{1}{2}21-3i2\frac{\sqrt{3}i}{2}23i)

平面点集

开集与闭集

邻域

区域

平面曲线

1、方程式

2、参数式

曲线的分类

无穷大与复球面

复变函数

概念

复变函数的极限与连续性

极限存在的充要条件

连续

小结

第二章：解析函数

解析函数的概念

复变函数的导数

解析函数的概念与求导法则

柯西-黎曼方程（C-R方程）

解析函数与调和函数的关系

调和函数的概念

共轭函数函数

初等函数

第三章：复变函数的积分

复积分的概念

复积分的定义

复积分的基本性质

复积分的计算

柯西积分定理

柯西基本定理

闭路变形定理

复合闭路定理

路径无关性

原函数

柯西积分公式

解析函数的高阶导数

高阶导数定理

第四章：解析函数的级数表示

复数项级数

复数序列

复数项级数

复变函数项级数

基本概念

幂级数

幂级数的性质

泰勒级数

泰勒定理

将函数展开为泰勒级数的方法

洛朗级数

含有负幂次项的“幂级数”

洛朗定理

将函数展开为洛朗级数的方法

第五章：留数及其应用

孤立奇点

引言

零点

孤立奇点

孤立奇点的分类

如何进行孤立奇点的分类

如何判断极点的阶数

留数

留数的概念

留数的计算方法

留数定理

第八章：傅里叶变换

傅里叶变换的概念

非周期函数的傅里叶变换

单位冲激函数

为什么要引入单位冲激函数

单位冲激函数的概念及性质

单位冲激函数的傅里叶变换

周期函数的傅里叶变换

傅里叶变换的性质

基本性质

卷积与卷积定理

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