设有 n+1 (n∈N,n≥1)n+1(n∈N,n≥1)n + 1\ (n \in \mathbb N, n \ge 1) 个点 {αi,i∈N,1≤i≤n+1}{αi,i∈N,1≤i≤n+1}\left \{ \alpha_i, i \in \mathbb N, 1 \le i \le n + 1 \right \} , βi=αi−αn+1,1≤i≤n.βi=αi−αn+1,1≤i≤n.\beta_i = \alpha_i - \alpha_{n + 1}, 1 \le i \le n.

引理一

{∑n+1i=1xiαi:∑n+1i=1xi=1}={∑ni=1xiβi+αn+1,xi∈R}{∑i=1n+1xiαi:∑i=1n+1xi=1}={∑i=1nxiβi+αn+1,xi∈R}\left \{ \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i \alpha_i : \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i = 1 \right \} = \left \{ \sum _{i = 1} ^{n} x_i \beta_i + \alpha_{n + 1}, x_i \in R \right \}

证明：

由 ∑n+1i=1xi=1⇔xn+1=1−∑ni=1xi∑i=1n+1xi=1⇔xn+1=1−∑i=1nxi \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i = 1 \Leftrightarrow x_{n + 1} = 1 - \sum _{i = 1} ^{n} x_i 得：
∑n+1i=1xiαi∑i=1n+1xiαi \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i \alpha_i
=∑ni=1xiαi+xn+1αn+1=∑i=1nxiαi+xn+1αn+1= \sum _{i = 1} ^{n} x_i \alpha_i + x_{n + 1} \alpha_{n + 1}
=∑ni=1xiαi+(1−∑ni=1xi)αn+1=∑i=1nxiαi+(1−∑i=1nxi)αn+1= \sum _{i = 1} ^{n} x_i \alpha_i + (1 - \sum _{i = 1} ^{n} x_i) \alpha_{n + 1}
=∑ni=1xi(αi−αn+1)+αn+1=∑i=1nxi(αi−αn+1)+αn+1= \sum _{i = 1} ^{n} x_i (\alpha_i - \alpha_{n + 1}) + \alpha_{n + 1}
=∑ni=1xiβi+αn+1=∑i=1nxiβi+αn+1= \sum _{i = 1} ^{n} x_i \beta_i + \alpha_{n + 1}
反之亦然。

引理二

{∑n+1i=1xiαi=0∑n+1i=1xi=0{∑i=1n+1xiαi=0∑i=1n+1xi=0\begin{cases} \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i \alpha_i = 0 \\ \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i = 0 \end{cases} 有非零解。
⇔∑ni=1xiβi=0⇔∑i=1nxiβi=0\Leftrightarrow \sum _{i = 1} ^{n} x_i \beta_i = 0 有非零解。
⇔{βi=αi−αn+1,i∈N,1≤i≤n}⇔{βi=αi−αn+1,i∈N,1≤i≤n}\Leftrightarrow \left \{ \beta_i = \alpha_i - \alpha_{n + 1}, i \in \mathbb N, 1 \le i \le n \right \} 线性相关。

证明：

由 ∑n+1i=1xi=0⇔xn+1=−∑ni=1xi∑i=1n+1xi=0⇔xn+1=−∑i=1nxi \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i = 0 \Leftrightarrow x_{n + 1} = - \sum _{i = 1} ^{n} x_i 得：
∑n+1i=1xiαi∑i=1n+1xiαi \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i \alpha_i
=∑ni=1xiαi+xn+1αn+1=∑i=1nxiαi+xn+1αn+1= \sum _{i = 1} ^{n} x_i \alpha_i + x_{n + 1} \alpha_{n + 1}
=∑ni=1xiαi+(−∑ni=1xi)αn+1=∑i=1nxiαi+(−∑i=1nxi)αn+1= \sum _{i = 1} ^{n} x_i \alpha_i + (- \sum _{i = 1} ^{n} x_i) \alpha_{n + 1}
=∑ni=1xi(αi−αn+1)=∑i=1nxi(αi−αn+1)= \sum _{i = 1} ^{n} x_i (\alpha_i - \alpha_{n + 1})
=∑ni=1xiβi=∑i=1nxiβi= \sum _{i = 1} ^{n} x_i \beta_i

定义

若 {∑n+1i=1xiαi=0∑n+1i=1xi=0{∑i=1n+1xiαi=0∑i=1n+1xi=0\begin{cases} \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i \alpha_i = 0 \\ \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i = 0 \end{cases} 无非零解，则过这 n+1n+1n + 1 个点的 nnn 维空间为：
{∑i=1n+1xiαi,∑i=1n+1xi=1}" role="presentation">{∑n+1i=1xiαi,∑n+1i=1xi=1}{∑i=1n+1xiαi,∑i=1n+1xi=1}\left \{ \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i \alpha_i, \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i = 1 \right \} 或 {∑ni=1xiβi+αn+1,xi∈R}{∑i=1nxiβi+αn+1,xi∈R} \left \{ \sum _{i = 1} ^{n} x_i \beta_i + \alpha_{n + 1}, x_i \in R \right \} 。

注：由引理一，整两个集合是相等的。

推论一

若 {∑n+1i=1xiyi=0∑n+1i=1xi=0{∑i=1n+1xiyi=0∑i=1n+1xi=0\begin{cases} \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i \mathrm {y}_i = 0 \\ \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i = 0 \end{cases} 无非零解，则过这 n+1n+1n + 1 个点 {yi,i∈N,1≤i≤n+1}{yi,i∈N,1≤i≤n+1}\left \{ \mathrm {y}_i, i \in \mathbb N, 1 \le i \le n + 1 \right \} 有且只有一个 nnn 维空间。

证明：

(1) 存在性：
这 n+1" role="presentation">n+1n+1n + 1 个点在平面 {∑n+1i=1xiyi,∑n+1i=1xi=1}{∑i=1n+1xiyi,∑i=1n+1xi=1}\left \{ \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i \mathrm {y}_i, \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i = 1 \right \} 上。这是因为：∀j∈N,1≤j≤n+1,∀j∈N,1≤j≤n+1,\forall j \in \mathbb N, 1 \le j \le n + 1, 令 xi=δijxi=δij x_i = \delta_{ij}，则 yj=∑n+1i=1xijyiyj=∑i=1n+1xijyi\mathrm {y}_j = \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_ij \mathrm {y}_i。
(2) 唯一性：
设 n+1n+1n + 1 个点在一个平面 {∑n+1i=1xiαi,∑n+1i=1xi=1}{∑i=1n+1xiαi,∑i=1n+1xi=1}\left \{ \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i \alpha_i, \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i = 1 \right \} 上，设
Y=(y1,⋯,yn+1),Y=(y1,⋯,yn+1),\mathbf{Y} = \begin{pmatrix} \mathrm {y}_1, \cdots, \mathrm {y}_{n + 1} \end{pmatrix},
A=(α1,⋯,αn+1),A=(α1,⋯,αn+1),\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \alpha_1, \cdots, \alpha_{n + 1} \end{pmatrix},
yi=∑n+1j=1αjxij,∑n+1j=1xij=1,i∈N,1≤i≤n+1,yi=∑j=1n+1αjxij,∑j=1n+1xij=1,i∈N,1≤i≤n+1,\mathrm {y}_i = \sum _{j = 1} ^{n + 1} \alpha_j x_{ij}, \sum _{j = 1} ^{n + 1} x_{ij} = 1, i\in \mathbb N, 1 \le i \le n + 1,
X=(xi,j)(n+1)×(n+1),X=(xi,j)(n+1)×(n+1),\mathbf{X} = (x_{i, j})_{(n + 1) \times (n + 1)} ,
1n+1=(1,⋯,1)1×(n+1),1n+1=(1,⋯,1)1×(n+1),\mathbf {1}_{n + 1} = \begin{pmatrix} 1, \cdots, 1 \end{pmatrix}_{1 \times (n + 1)},
x=(x1,⋯,xn+1),x=(x1,⋯,xn+1),\mathrm {x} = \begin{pmatrix} x_1, \cdots, x_{n + 1} \end{pmatrix},
则： Y=AX,1n+1X=1n+1Y=AX,1n+1X=1n+1\mathbf{Y} = \mathbf {A} \mathbf{X}, \mathbf {1}_{n + 1} \mathbf{X} = \mathbf {1}_{n + 1}
由于关于 xx \mathrm {x} 的方程 {Yx=01n+1x=0{Yx=01n+1x=0\begin{cases} \mathbf{Y} \mathrm {x} = 0 \\ {1}_{n + 1} \mathrm {x} = 0\end{cases} 无非零解，也就是 {AXx=01n+1x=0{AXx=01n+1x=0 \begin{cases} \mathbf {A} \mathbf{X} \mathrm {x} = 0 \\ {1}_{n + 1} \mathrm {x} = 0 \end{cases} 无非零解，因此 Xx=0Xx=0\mathbf{X} \mathrm {x} = 0 无非零解。否则，若存在 x≠0x≠0\mathrm {x} \neq 0，使得 Xx=0Xx=0\mathbf{X} \mathrm {x} = 0，则 {AXx=01n+1x=(1n+1X)x=1n+1(Xx)=0{AXx=01n+1x=(1n+1X)x=1n+1(Xx)=0\begin{cases} \mathbf {A} \mathbf{X} \mathrm {x} = 0 \\ {1}_{n + 1} \mathrm {x} = ({1}_{n + 1} \mathbf{X}) \mathrm {x} = {1}_{n + 1}( \mathbf{X} \mathrm {x} )= 0 \end{cases}，与 {Yx=01n+1x=0{Yx=01n+1x=0\begin{cases} \mathbf{Y} \mathrm {x} = 0 \\ {1}_{n + 1} \mathrm {x} = 0\end{cases} 无非零解矛盾。
因此 XX\mathbf{X} 可逆，于是：
A=YX−1,1n+1=1n+1X−1A=YX−1,1n+1=1n+1X−1\mathbf{A} = \mathbf{Y} \mathbf{X}^{-1}, \mathbf {1}_{n + 1} = \mathbf {1}_{n + 1} \mathbf{X}^{-1}
因此对于任意 1n+1z=11n+1z=1\mathbf {1}_{n + 1} \mathrm {z} = 1，
Yz=(AX)z=A(Xz),Yz=(AX)z=A(Xz),\mathbf{Y} \mathrm {z} = (\mathbf {A} \mathbf{X} ) \mathrm {z} = \mathbf {A} ( \mathbf{X} \mathrm {z} ),
1n+1(Xz)=(1n+1X)z=1n+1z=11n+1(Xz)=(1n+1X)z=1n+1z=1\mathbf {1}_{n + 1} ( \mathbf{X} \mathrm {z} ) = ( \mathbf {1}_{n + 1} \mathbf{X} ) \mathrm {z} = \mathbf {1}_{n + 1} \mathrm {z} = 1
同样，
Az=YX−1z=Y(X−1z),Az=YX−1z=Y(X−1z),\mathbf{A} \mathrm {z} = \mathbf{Y} \mathbf{X}^{-1} \mathrm {z} = \mathbf{Y} (\mathbf{X}^{-1} \mathrm {z}),
1n+1(X−1z)=(1n+1X−1)z=1n+1z=11n+1(X−1z)=(1n+1X−1)z=1n+1z=1\mathbf {1}_{n + 1} (\mathbf{X}^{-1} \mathrm {z}) = (\mathbf {1}_{n + 1} \mathbf{X}^{-1}) \mathrm {z} = \mathbf {1}_{n + 1} \mathrm {z} = 1

推论二

若 {∑n+1i=1xiyi=0∑n+1i=1xi=0{∑i=1n+1xiyi=0∑i=1n+1xi=0\begin{cases} \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i \mathrm {y}_i = 0 \\ \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i = 0 \end{cases} 无非零解，这 n+1n+1n + 1 个点 {yi,i∈N,1≤i≤n+1}{yi,i∈N,1≤i≤n+1}\left \{ \mathrm {y}_i, i \in \mathbb N, 1 \le i \le n + 1 \right \} 在一个空间内，则这个空间的维度 ≥n≥n\ge n，且过这 n+1n+1n + 1 个点 {yi,i∈N,1≤i≤n+1}{yi,i∈N,1≤i≤n+1}\left \{ \mathrm {y}_i, i \in \mathbb N, 1 \le i \le n + 1 \right \} 的 nnn 维空间是这个空间的子空间。

推论三

{∑i=1n+1xiyi=0∑i=1n+1xi=0" role="presentation">{∑n+1i=1xiyi=0∑n+1i=1xi=0{∑i=1n+1xiyi=0∑i=1n+1xi=0\begin{cases} \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i \mathrm {y}_i = 0 \\ \sum _{i = 1} ^{n + 1} x_i = 0 \end{cases} 有非零解 ⇔⇔\Leftrightarrow 过这 n+1n+1n + 1 个点有一个 mmm (m∈N,m<n)" role="presentation">(m∈N,m<n)(m∈N,m<n)(m \in \mathbb N, m \lt n) 维空间。

推论四

过这 n+1n+1n + 1 个点有一个 mmm (m∈N,m≤n)" role="presentation">(m∈N,m≤n)(m∈N,m≤n)(m \in \mathbb N, m \le n) 维空间。

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