小h的数列 //差分前缀和的应用(好好看好好学(包括我自己))

题目描述
有一个长度为n的数列，初始每个位置的数字都是0，进行m次操作，每次操作将一个区间的数字加上某个特定的数字，输出最终的数列
输入
第一行两个数字n和m表示有长度为n的数列，有m次操作
后m行，每行三个正整数a,b,c表示将区间[a,b]的数字加上c
（n<=100000,m<=100000,c<=100000）
输出
最终的数列
样例输入
5 2
1 3 1
2 5 2
样例输出
1 3 3 2 2

分析:
差分前缀和:
其实可以把它理解为数学上的数列的前n项和（对于一个一维数组的前缀和）。
我们定义对于一个数组a的前缀和数组s，s[i] = a[1]+a[2]+…+a[i].
对于一维情况，现在我给出一个数列a，要求你回答m次询问，每次询问下标j到k的和。朴素的做法显然是对于每次询问都执行一次相加操作，然后输出结果。这样做是正确的，但是当m过大时就会导致计算次数过多而有可能超时。
超时的原因一目了然，重复计算。那么我们应该怎么改进这个方法呢？想象一下，我们如果先提前算好了每一个位置的前缀和，然后用s[k]-s[j]，结果不就是我们这次询问的答案吗？这样便会使计算量大大减小。

此题用一个gap数组存储s数组中每个元素的差，初始差为0。经过每次的差分后分析规律。如:
输入a b c后，即a b之间的元素加上c。从s数组分析，易得gap数组中下标为a处的，其前缀和加上c，[a,b]之间的全部元素由于加上同一个数，其前缀和不变，但是容易发现下标为b+1处的元素与后边的差发生改变，即gap[b+1]-c。(为了方便计数，直接将两个数组从下标为1开始计算，而将下标为0的元素置0，如此可以省去不必要的判断步骤)
除此之外，由于本题的数组定义需要很大，而主函数中无法承受如此大的数组，因此要把该数组定义成全局变量，否则将会出错:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define INF 999999999
using namespace std;
ll s[100005],gap[100005];//一般遇到比较大的数组，定义在全局变量，因为主函数很可能无法装入如此大的数组
int main()
{int a,b,c,m,n;scanf("%d%d",&n,&m);memset(s,0,n*sizeof(ll));memset(gap,0,n*sizeof(ll));for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);gap[a]+=c;gap[b+1]-=c;}for(int i=1;i<=n;i++)s[i]+=gap[i]+s[i-1],cout<<s[i]<<" ";cout<<endl;return 0;
}

总之，学会一个知识总是让人开心的，继续加油吧!!!

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