高等数学（第七版）同济大学习题1-7 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题1-7

1.当x→0时，2x−x2与x2−x3相比，哪一个是高阶无穷小？\begin{aligned}&1. \ 当x \rightarrow 0时，2x-x^2与x^2-x^3相比，哪一个是高阶无穷小？&\end{aligned}1. 当x→0时，2x−x2与x2−x3相比，哪一个是高阶无穷小？

解：

因为lim⁡x→0(2x−x2)=0，lim⁡x→0(x2−x3)=0，lim⁡x→0x2−x32x−x2=lim⁡x→0x−x22−x=0，所以当x→0时，x2−x3是比2x−x2高阶的无穷小。\begin{aligned} &\ \ 因为\lim_{x \rightarrow 0}(2x-x^2)=0，\lim_{x \rightarrow 0}(x^2-x^3)=0， \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x^2-x^3}{2x-x^2}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x-x^2}{2-x}}=0，\\\\ &\ \ 所以当x \rightarrow 0时，x^2-x^3是比2x-x^2高阶的无穷小。 & \end{aligned} 因为x→0lim(2x−x2)=0，x→0lim(x2−x3)=0，x→0lim2x−x2x2−x3=x→0lim2−xx−x2=0，所以当x→0时，x2−x3是比2x−x2高阶的无穷小。

2.当x→0时，(1−cosx)2与sin2x相比，哪一个是高阶无穷小？\begin{aligned}&2. \ 当x \rightarrow 0时，(1-cos\ x)^2与sin^2\ x相比，哪一个是高阶无穷小？&\end{aligned}2. 当x→0时，(1−cos x)2与sin2 x相比，哪一个是高阶无穷小？

解：

因为lim⁡x→0(1−cosx)2=0，lim⁡x→0sin2x=0，lim⁡x→0(1−cosx)2sin2x=lim⁡x→0(12x2)2x2=lim⁡x→014x2=0，所以当x→0时，(1−cosx)2是比sin2x高阶的无穷小。\begin{aligned} &\ \ 因为\lim_{x \rightarrow 0}(1-cos\ x)^2=0，\lim_{x \rightarrow 0}sin^2\ x=0，\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{(1-cos\ x)^2}{sin^2\ x}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2}{x^2}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{1}{4}x^2}=0，\\\\ &\ \ 所以当x \rightarrow 0时，(1-cos\ x)^2是比sin^2\ x高阶的无穷小。 & \end{aligned} 因为x→0lim(1−cos x)2=0，x→0limsin2 x=0，x→0limsin2 x(1−cos x)2=x→0limx2(21x2)2=x→0lim41x2=0，所以当x→0时，(1−cos x)2是比sin2 x高阶的无穷小。

3.当x→1时，无穷小1−x和(1)1−x3，(2)12(1−x2)是否同阶，是否等价？\begin{aligned}&3. \ 当x \rightarrow 1时，无穷小1-x和(1)1-x^3，(2)\frac{1}{2}(1-x^2)是否同阶，是否等价？&\end{aligned}3. 当x→1时，无穷小1−x和(1)1−x3，(2)21(1−x2)是否同阶，是否等价？

解：

(1)因为lim⁡x→11−x1−x3=lim⁡x→111+x+x2=13，所以当x→1时，无穷小1−x与1−x3同阶。(2)因为lim⁡x→11−x12(1−x2)=lim⁡x→121+x=1，所以当x→1时，无穷小1−x与12(1−x2)等价。\begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{x \rightarrow 1}\frac{1-x}{1-x^3}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{1}{1+x+x^2}=\frac{1}{3}，所以当x \rightarrow 1时，无穷小1-x与1-x^3同阶。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{x \rightarrow 1}\frac{1-x}{\frac{1}{2}(1-x^2)}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{2}{1+x}=1，所以当x \rightarrow 1时，无穷小1-x与\frac{1}{2}(1-x^2)等价。 & \end{aligned} (1) 因为x→1lim1−x31−x=x→1lim1+x+x21=31，所以当x→1时，无穷小1−x与1−x3同阶。 (2) 因为x→1lim21(1−x2)1−x=x→1lim1+x2=1，所以当x→1时，无穷小1−x与21(1−x2)等价。

4.证明：当x→0时，有\begin{aligned}&4. \ 证明：当x \rightarrow 0时，有&\end{aligned}4. 证明：当x→0时，有

(1)arctanx∼x；(2)secx−1∼x22\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ arctan\ x \sim x；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ sec\ x-1 \sim \frac{x^2}{2} & \end{aligned} (1) arctan x∼x； (2) sec x−1∼2x2

解：

(1)令x=tant，t=arctanx，当x→0时，t→0。因为lim⁡x→0arctanxx=lim⁡t→0ttant=1，所以当x→0时，arctanx∼x。(2)因为lim⁡x→0secx−1x22=lim⁡x→01−cosxcosx12x2=lim⁡x→01cosx=1，所以当x→0时，secx−1∼x22。\begin{aligned} &\ \ (1)\ 令x=tan\ t，t=arctan\ x，当x \rightarrow 0时，t \rightarrow 0。因为\lim_{x \rightarrow 0}\frac{arctan\ x}{x}=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{t}{tan\ t}=1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以当x \rightarrow 0时，arctan\ x \sim x。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sec\ x-1}{\frac{x^2}{2}}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1-cos\ x}{cos\ x}}{\frac{1}{2}x^2}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{cos\ x}=1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以当x \rightarrow 0时，sec\ x -1 \sim \frac{x^2}{2}。 & \end{aligned} (1) 令x=tan t，t=arctan x，当x→0时，t→0。因为x→0limxarctan x=t→0limtan tt=1，所以当x→0时，arctan x∼x。 (2) 因为x→0lim2x2sec x−1=x→0lim21x2cos x1−cos x=x→0limcos x1=1，所以当x→0时，sec x−1∼2x2。

5.利用等价无穷小的性质，求下列极限：\begin{aligned}&5. \ 利用等价无穷小的性质，求下列极限：&\end{aligned}5. 利用等价无穷小的性质，求下列极限：

(1)lim⁡x→0tan3x2x；(2)lim⁡x→0sin(xn)(sinx)m(n，m为正整数)；(3)lim⁡x→0tanx−sinxsin3x；(4)lim⁡x→0sinx−tanx(1+x23−1)(1+sinx−1)\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{tan\ 3x}{2x}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin(x^n)}{(sin\ x)^m}\ (n，m为正整数)；\\\\ &\ \ (3)\ \ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{tan\ x-sin\ x}{sin^3\ x}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin\ x-tan\ x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sin\ x}-1)} & \end{aligned} (1) x→0lim2xtan 3x； (2) x→0lim(sin x)msin(xn) (n，m为正整数)； (3) x→0limsin3 xtan x−sin x； (4) x→0lim(31+x2−1)(1+sin x−1)sin x−tan x

解：

(1)lim⁡x→0tan3x2x=lim⁡x→0sin3x2cos3x⋅x=lim⁡x→0(32⋅1cos3x⋅sin3x3x)=32(2)lim⁡x→0sin(xn)(sinx)m=lim⁡x→0xnxm={0，n>m，1，n=m，∞，n<m.(3)lim⁡x→0tanx−sinxsin3x=lim⁡x→0sinx−sinx⋅cosxcosx⋅sin3x=lim⁡x→01−cosxcosx⋅sin2x=lim⁡x→012cosx⋅sin2xx2=12(4)lim⁡x→0sinx−tanx(1+x23−1)(1+sinx−1)=lim⁡x→0sinx(1−secx)13x2⋅12sinx=lim⁡x→0−12x216x2=−3\begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{tan\ 3x}{2x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin\ 3x}{2cos\ 3x \cdot x}=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{cos\ 3x} \cdot \frac{sin\ 3x}{3x}\right)=\frac{3}{2}\\\\ &\ \ (2)\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin(x^n)}{(sin\ x)^m}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^n}{x^m}=\begin{cases}0，n \gt m，\\\\ 1，n =m，\\\\ \infty，n \lt m.\end{cases}\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{tan\ x-sin\ x}{sin^3\ x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin\ x-sin\ x \cdot cos\ x}{cos\ x \cdot sin^3\ x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-cosx}{cos\ x \cdot sin^2\ x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2cos\ x \cdot \frac{sin^2\ x}{x^2}}=\frac{1}{2}\\\\ &\ \ (4)\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin\ x-tan\ x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sin\ x}-1)}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin\ x(1-sec\ x)}{\frac{1}{3}x^2 \cdot \frac{1}{2}sin\ x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{\frac{1}{6}x^2}=-3 & \end{aligned} (1) x→0lim2xtan 3x=x→0lim2cos 3x⋅xsin 3x=x→0lim(23⋅cos 3x1⋅3xsin 3x)=23 (2) x→0lim(sin x)msin(xn)=x→0limxmxn=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧0，n>m，1，n=m，∞，n<m. (3) x→0limsin3 xtan x−sin x=x→0limcos x⋅sin3 xsin x−sin x⋅cos x=x→0limcos x⋅sin2 x1−cosx=x→0lim2cos x⋅x2sin2 x1=21 (4) x→0lim(31+x2−1)(1+sin x−1)sin x−tan x=x→0lim31x2⋅21sin xsin x(1−sec x)=x→0lim61x2−21x2=−3

6.证明无穷小的等价关系具有下列性质：\begin{aligned}&6. \ 证明无穷小的等价关系具有下列性质：&\end{aligned}6. 证明无穷小的等价关系具有下列性质：

(1)α∼α（自反性）；(2)若α∼β，则β∼α（对称性）；(3)若α∼β，β∼γ，则α∼γ（传递性）\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \alpha \sim \alpha（自反性）；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ 若\alpha \sim \beta，则\beta \sim \alpha（对称性）；\\\\ &\ \ (3)\ \ 若\alpha \sim \beta，\beta \sim \gamma，则\alpha \sim \gamma（传递性） & \end{aligned} (1) α∼α（自反性）； (2) 若α∼β，则β∼α（对称性）； (3) 若α∼β，β∼γ，则α∼γ（传递性）

解：

(1)因为lim⁡αα=1，所以α∼α；(2)因为α∼β，即lim⁡αβ=1，所以lim⁡βα=1，即β∼α；(3)因为α∼β，β∼γ，即lim⁡αβ=1，lim⁡βγ=1，所以lim⁡αγ=lim⁡(αβ⋅βγ)=lim⁡αβ⋅lim⁡βγ=1，即α∼γ\begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim{\frac{\alpha}{\alpha}}=1，所以\alpha \sim \alpha；\\\\ &\ \ (2)\ 因为\alpha \sim \beta，即\lim{\frac{\alpha}{\beta}}=1，所以\lim{\frac{\beta}{\alpha}}=1，即\beta \sim \alpha；\\\\ &\ \ (3)\ 因为\alpha \sim \beta，\beta \sim \gamma，即\lim{\frac{\alpha}{\beta}}=1，\lim{\frac{\beta}{\gamma}}=1，所以\lim{\frac{\alpha}{\gamma}}=\lim\left(\frac{\alpha}{\beta}\cdot \frac{\beta}{\gamma}\right)=\lim{\frac{\alpha}{\beta}} \cdot \lim{\frac{\beta}{\gamma}}=1，即\alpha \sim \gamma & \end{aligned} (1) 因为limαα=1，所以α∼α； (2) 因为α∼β，即limβα=1，所以limαβ=1，即β∼α； (3) 因为α∼β，β∼γ，即limβα=1，limγβ=1，所以limγα=lim(βα⋅γβ)=limβα⋅limγβ=1，即α∼γ