0201导数的概念-导数与微分-高等数学

文章目录

1 导数的定义
2 常见函数的导数(导函数)
3 单侧导数
4 导数的几何意义
5 可导和连续的关系
6 后记

1 导数的定义

设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0取得增量△xx在x_0取得增量\triangle xx在x0取得增量△x(点x+△xx+\triangle xx+△x扔在该邻域内)时，相应地，因变量y取得增量△y=f(x0+△x)−f(x0)y取得增量\triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)y取得增量△y=f(x0+△x)−f(x0);如果△y与△x\triangle y与\triangle x△y与△x之比当△x→0\triangle x\to0△x→0时的极限存在，那么称函数y=f(x)在点x0y=f(x)在点x_0y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0y=f(x)在点x_0y=f(x)在点x0处的导数，记做f′(x0)f^{'}(x_0)f′(x0),即

f′(x0)=lim⁡△x→0△y△x=lim⁡△x→0f(x0+△x)−f(x0)△xf^{'}(x_0)=\lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{\triangle y}{\triangle x}}=\lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}}f′(x0)=△x→0lim△x△y=△x→0lim△xf(x0+△x)−f(x0)

也可记做y′∣x=x0,dydx∣x=x0,df(x)dx∣x=x0y^{'}|_{x=x_0},\frac{dy}{dx}|_{x=x_0},\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}y′∣x=x0,dxdy∣x=x0,dxdf(x)∣x=x0

注
1. 导数定义是严格的形式：f′(x0)=lim⁡△x→0f(x0+△x)−f(x0)△x,x0一致，△x一致f^{'}(x_0)=\lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}},x_0一致，\triangle x一致f′(x0)=△x→0lim△xf(x0+△x)−f(x0),x0一致，△x一致,
  - 示例：f′(1)=lim⁡△x→0f(1+△x)−f(1)△xf^{'}(1)=\lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{f(1+\triangle x)-f(1)}{\triangle x}}f′(1)=△x→0lim△xf(1+△x)−f(1)
  - 示例：f′(x0)=lim⁡△x→0f(x0+2△x)−f(x0)2△x,增量2△f^{'}(x_0)=\lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{f(x_0+2\triangle x)-f(x_0)}{2\triangle x}},增量2\trianglef′(x0)=△x→0lim2△xf(x0+2△x)−f(x0),增量2△
2. 等价变形f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f^{'}(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
3. 实例：
  1. 物体的位移函数s=f(t)s=f(t)s=f(t)在t0t_0t0时刻的瞬时速度：v(t0)=f′(t0)v(t_0)=f^{'}(t_0)v(t0)=f′(t0)
  2. 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))y=f(x)在点(x_0,f(x_0))y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率：k=f′(x0)k=f^{'}(x_0)k=f′(x0)
4. lim⁡△x→0f(x0+△x)−f(x0)△x\lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}}△x→0lim△xf(x0+△x)−f(x0)极限不存在,函数在点x0x_0x0处不可导
  1. 特殊lim⁡△x→0f(x0+△x)−f(x0)△x=∞\lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}}=\infty△x→0lim△xf(x0+△x)−f(x0)=∞函数极限仍然是不存在的

如果函数f(x)在开区间If(x)在开区间If(x)在开区间I内处处可导，那么称函数y=f(x)在开区间I内y=f(x)在开区间I内y=f(x)在开区间I内可导，对于∀∈I\forall\in I∀∈I,都对应这f(x)f(x)f(x)的一个确定的导数值，这样构成的函数叫做原函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的导函数,记做y′,dydx,df(x)dxy^{'},\frac{dy}{dx},\frac{df(x)}{dx}y′,dxdy,dxdf(x)

注
- 求某一点的导数值可先求原函数的导函数，带入求某一点的导数值即函数在某点的导数值等于其导函数在该点的函数值。

2 常见函数的导数(导函数)

例1 求函数f(x)=C(C为常数)f(x)=C(C为常数)f(x)=C(C为常数)的导数
解：f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0(C−C)h=0解：f^{'}(x)=\lim\limits_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim\limits_{h\to0}{\frac{(C-C)}{h}}=0 解：f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limh(C−C)=0

常数的导数等于零。

例2：求幂函数f(x)=xμ(μ∈R)f(x)=x^\mu(\mu\in R)f(x)=xμ(μ∈R)的导数
解：f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=f′(x)=lim⁡h→0(x+h)μ−xμh=xμ−1lim⁡h→0(1+hx)μ−1hx=μxμ−1解：f^{'}(x)=\lim\limits_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=f^{'}(x)=\lim\limits_{h\to0}{\frac{(x+h)^\mu-x^\mu}{h}}\\ =x^{\mu-1}\lim\limits_{h\to0}{\frac{(1+\frac{h}{x})^\mu-1}{\frac{h}{x}}}=\mu x^{\mu-1} 解：f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=f′(x)=h→0limh(x+h)μ−xμ=xμ−1h→0limxh(1+xh)μ−1=μxμ−1

例3：求函数f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx的导数
解：f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin(x)h=lim⁡h→02sin⁡(h2)cos⁡(2x+h2)h=cos⁡x解：f^{'}(x)=\lim\limits_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim\limits_{h\to0}{\frac{\sin(x+h)-sin(x)}{h}}= \\ \lim\limits_{h\to0}{\frac{2\sin(\frac{h}{2})\cos(\frac{2x+h}{2})}{h}}=\cos x 解：f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limhsin(x+h)−sin(x)=h→0limh2sin(2h)cos(22x+h)=cosx

(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)^{'}=-\sin x(cosx)′=−sinx

例4：求函数f(x)=ax(a>0,a≠1)f(x)=a^x(a\gt0,a\not=1)f(x)=ax(a>0,a=1)的导数
解：f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0ax+h−axh=axlim⁡h→0ah−1h=axln⁡a解：f^{'}(x)=\lim\limits_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim\limits_{h\to0}{\frac{a^{x+h}-a^x}{h}}= \\ a^x\lim\limits_{h\to0}{\frac{a^h-1}{h}}=a^x\ln a 解：f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limhax+h−ax=axh→0limhah−1=axlna
例5：求函数f(x)=log⁡ax(a>0,a≠1)f(x)=\log_ax(a\gt0,a\not=1)f(x)=logax(a>0,a=1)的导数
解：f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0log⁡a(x+h)−log⁡a(x)h=1xlim⁡h→0log⁡a(1+hx)hx=1xln⁡a解：f^{'}(x)=\lim\limits_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim\limits_{h\to0}{\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}} \\ =\frac{1}{x}\lim\limits_{h\to0}{\frac{\log_a(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}}=\frac{1}{x\ln a} 解：f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limhloga(x+h)−loga(x)=x1h→0limxhloga(1+xh)=xlna1
例6：已知f′(x0)f^{'}(x_0)f′(x0)存在，则lim⁡△x→0f(x0+3△x)−f(x0−△x)△x=？\lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{f(x_0+3\triangle x)-f(x_0-\triangle x)}{\triangle x}}=？△x→0lim△xf(x0+3△x)−f(x0−△x)=？
解：lim⁡△x→0f(x0+3△x)−f(x0−△x)△x=3lim⁡△x→0f(x0+3△x)−f(x0)3△x+lim⁡△x→0f(x0−△x)−f(x0)−△x=3f′(x0)+f′(x0)=4f′(x0)解：\lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{f(x_0+3\triangle x)-f(x_0-\triangle x)}{\triangle x}} \\ =3\lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{f(x_0+3\triangle x)-f(x_0)}{3\triangle x}} + \lim\limits_{\triangle x\to0}{\frac{f(x_0-\triangle x)-f(x_0)}{-\triangle x}}\\ =3f^{'}(x_0)+f^{'}(x_0)=4f^{'}(x_0) 解：△x→0lim△xf(x0+3△x)−f(x0−△x)=3△x→0lim3△xf(x0+3△x)−f(x0)+△x→0lim−△xf(x0−△x)−f(x0)=3f′(x0)+f′(x0)=4f′(x0)

3 单侧导数

若lim⁡h→0−f(x0+h)−f(x0)h\lim\limits_{h\to0^-}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}h→0−limhf(x0+h)−f(x0)存在，则称该极限为函数f(x)在x0f(x)在x_0f(x)在x0处的左导数，记做f−′(x0)f_-^{'}(x_0)f−′(x0)；若lim⁡h→0+f(x0+h)−f(x0)h\lim\limits_{h\to0^+}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}h→0+limhf(x0+h)−f(x0)存在，则称该极限为函数f(x)在x0f(x)在x_0f(x)在x0处的右导数导数,记做f+′(x0)f_+^{'}(x_0)f+′(x0)。

函数f(x)在点x0f(x)在点x_0f(x)在点x0可导的充分必要条件是左导数f−′(x0)f_-^{'}(x_0)f−′(x0)和右导数f+′(x0)f_+^{'}(x_0)f+′(x0)存在且相等。

左导数和右导数统称为单侧导数。

如果函数(x)(x)(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导，且f+′(a)f_+^{'}(a)f+′(a)及f−′(b)f_-^{'}(b)f−′(b)都存在，那么说函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]内可导。

例7:
f(x)={23x3,x≤1x2,x>1，f(x)在x=1处是否可导？f(x)= \begin{cases} \frac{2}{3}x^3,x\le1 \\ x^2,\quad x\gt1 \end{cases} ，f(x)在x=1处是否可导？ f(x)={32x3,x≤1x2,x>1，f(x)在x=1处是否可导？

解：分段函数在某点是否可导，分别求左右导数。f−′(1)=3x2∣x=1=2,f+′(1)=2x∣x=1=2,f−′(1)=f+′(1)所以f(x)在点x=1处可导？那我们按左导数和右导数定义计算f−′(1)=lim⁡x→1−f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1−23x3−23x−1=2f+′(1)=lim⁡x→1+f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1−x2−23x−1=∞所以f(x)在x=1处导数不存在。解：分段函数在某点是否可导，分别求左右导数。\\ f_-^{'}(1)= 3x^2|_{x=1}=2,f_+^{'}(1)= 2x|_{x=1}=2 , \\ f_-^{'}(1)=f_+^{'}(1) 所以f(x)在点x=1处可导？ \\ 那我们按左导数和右导数定义计算 \\ f_-^{'}(1)=\lim\limits_{x\to1^-}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}=\lim\limits_{x\to1^-}{\frac{\frac{2}{3}x^3-\frac{2}{3}}{x-1}}=2 \\ f_+^{'}(1)=\lim\limits_{x\to1^+}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}=\lim\limits_{x\to1^-}{\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}}=\infty \\ 所以f(x)在x=1处导数不存在。解：分段函数在某点是否可导，分别求左右导数。f−′(1)=3x2∣x=1=2,f+′(1)=2x∣x=1=2,f−′(1)=f+′(1)所以f(x)在点x=1处可导？那我们按左导数和右导数定义计算f−′(1)=x→1−limx−1f(x)−f(1)=x→1−limx−132x3−32=2f+′(1)=x→1+limx−1f(x)−f(1)=x→1−limx−1x2−32=∞所以f(x)在x=1处导数不存在。

注：判断分段函数在分界点出是否可导要根据定义分别计算左导数和右导数

4 导数的几何意义

曲线y=f(x)在(x0,f(x0))y=f(x)在(x_0,f(x_0))y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线斜率：k=f′(x0)k=f^{'}(x_0)k=f′(x0)

切线方程：y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y-f(x_0)=f^{'}(x_0)(x-x_0)y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)

过切点M(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点M出的法线。

法线方程：y−f(x0)=1f′(x0)(x−x0)y-f(x_0)=\frac{1}{f^{'}(x_0)}(x-x_0)y−f(x0)=f′(x0)1(x−x0)

切线和法线示意图如下4-1所示：

5 可导和连续的关系

可导必连续，但是连续不一定可导。

证明：可导必连续lim⁡△x→0△y△x=f′(x0)△y△x=f′(x0)+α,其中lim⁡△x→0α=0则△y=f′(x0)△x+α△x,那么当△x→时，△y→0所以函数y=f(x)连续证明：可导必连续 \\ \lim\limits_{\triangle x\to 0}{\frac{\triangle y}{\triangle x}}=f^{'}(x_0) \\ \frac{\triangle y}{\triangle x}=f^{'}(x_0)+\alpha ,其中\lim\limits_{\triangle x\to 0}{\alpha}=0 \\ 则\triangle y=f^{'}(x_0)\triangle x + \alpha\triangle x,那么当\triangle x\to时，\triangle y \to0 \\所以函数y=f(x)连续证明：可导必连续△x→0lim△x△y=f′(x0)△x△y=f′(x0)+α,其中△x→0limα=0则△y=f′(x0)△x+α△x,那么当△x→时，△y→0所以函数y=f(x)连续

6 后记

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学第七版上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P73~p82.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p13.