导数的四则运算法则_胡昉祖《导数的概念》和《定积分》

胡昉祖先生照片

妻子黎元洪养女方自新

导数(Derivative)，也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数(简称导数)。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积)，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式)，其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

胡昉祖(1903-1974)，字旭初，民国大总统黎元洪女婿、著名翻译家、官员、书法家。就学于南开中学、北京大学、毕业于上海法学院，先后就职盐务公署，1945-1948年就职于敌产清办处、中央信託局，后在水产局任教，书法近何绍基，笔意纵逸超迈，时有颤笔，醇厚有味，译有莎士比亚戏剧故事《裘力斯·凯撒的生和死》、《雅典的泰门》、《仲夏夜之梦》、《科利奥兰纳斯的悲剧》、《罗密欧与朱丽叶》、《不列颠的国王辛白林》、《错误的喜剧》、《太尔的亲王起力克尔司》和译有《弗洛斯河上的磨坊》，译有白话文冯梦龙蔡元放编的《东周列国志》1059页，有《科学杂记》、《常用医药》、《什么叫血压医学稿》、《读宋太祖传弟光义(太宗)书后》、《导数的概念》、《定积分》、《高中数学点滴》、《高等数学笔记》和《不定积分习题解答》等稿，与周恩寿、句适生、章靳以同班同学。其妻为黎元洪养女方自新，婚姻由唐在礼夫妇介绍，其父为胡承治:杭州人,宣统二年中举,以知县分省补用，自号殅厂,有更生居士等名号，善书法。有《光緒二十九年癸卯恩科浙江鄉試硃卷一卷》。

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