0204隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率-导数与微分

1 隐函数

定义：设有两个非空数集A,BA,BA,B.对于∀x∈A\forall x\in A∀x∈A，由二元方程F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0对应唯一的y∈By\in By∈B,称此对应关系是二元方程F(X,y)=0F(X,y)=0F(X,y)=0确定的隐函数。

相应的由y=f(x)y=f(x)y=f(x)确定的对应关系称为显函数。

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。

例1 ：x+y3−1=0隐函数的显化→y=1−x3x+y^3-1=0\quad隐函数的显化\rightarrow y=\sqrt[3]{1-x}x+y3−1=0隐函数的显化→y=31−x

2 隐函数求导

利用复合函数求导法则，对方程两边求导。

例2：求ey+xy−e=0e^y+xy-e=0ey+xy−e=0所确定的隐函数的导数dydx\frac{dy}{dx}dxdy
解：等式两边求导,(ey)′+(xy)′−(e)′=0eyy′+y+xy′=0y′=−yey+x,ey+x≠0解：等式两边求导,\\ (e^y)^{'}+(xy)^{'}-(e)^{'}=0 \\ e^yy^{'}+y+xy^{'}=0 \\ y^{'}=-\frac{y}{e^y+x},\quad e^y+x\not=0 解：等式两边求导,(ey)′+(xy)′−(e)′=0eyy′+y+xy′=0y′=−ey+xy,ey+x=0
例3：求由方程y5+2y−x−3x7=0y^5+2y-x-3x^7=0y5+2y−x−3x7=0所确定的隐函数在x=0处的导数dydx∣x=0x=0处的导数\frac{dy}{dx}|_{x=0}x=0处的导数dxdy∣x=0
解：等式两端对x求导5y4y′+2y′−1−21x6=0y′=1+21x62+5y4x=0时，y=0带入得dydx∣x=0=12解：等式两端对x求导\\ 5y^4y^{'}+2y^{'}-1-21x^6=0 \\ y^{'}=\frac{1+21x^6}{2+5y^4} \\ x=0时，y=0带入得\\ \frac{dy}{dx}|_{x=0}=\frac{1}{2} 解：等式两端对x求导5y4y′+2y′−1−21x6=0y′=2+5y41+21x6x=0时，y=0带入得dxdy∣x=0=21
注：求隐函数在某点的导数值时，如果没要求求y′y^{'}y′,则可以先带入该点在求导
对于例3，5y4y′+2y′−1−21x6=0，带入x=0,y=0得y′(0)=12对于例3，5y^4y^{'}+2y^{'}-1-21x^6=0 ，带入x=0,y=0 得 \\ y^{'}(0)=\frac{1}{2} 对于例3，5y4y′+2y′−1−21x6=0，带入x=0,y=0得y′(0)=21
例4：已知椭圆x216+y29=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=116x2+9y2=1.求该椭圆在点(2,323)(2,\frac{3}{2}\sqrt{3})(2,233)处的切线方程。
解：切线斜率k=y′(x),方程两边对x求导x8+29yy′=0,y′=−9x16yk=y′(2)=−34切线方程为y−323=−34(x−2)即3x+4y−83=0解：切线斜率k=y^{'}(x) ,方程两边对x求导 \\ \frac{x}{8}+\frac{2}{9}yy^{'}=0,y^{'}=-\frac{9x}{16y} \\ k=y^{'}(2)=-\frac{\sqrt{3}}{4} \\ 切线方程为y-\frac{3}{2}\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x-2) \\ 即\sqrt{3}x+4y-8\sqrt{3}=0 解：切线斜率k=y′(x),方程两边对x求导8x+92yy′=0,y′=−16y9xk=y′(2)=−43切线方程为y−233=−43(x−2)即3x+4y−83=0

例5：由方程x−y+12sin⁡y=0x-y+\frac{1}{2}\sin y =0x−y+21siny=0所确定的隐函数，求dy2dx2\frac{dy^2}{dx^2}dx2dy2
解：方程两边对x求导1−y′+12cos⁡yy′=0，y′=22−cos⁡yy′′=0−2(sin⁡yy′)(2−cos⁡y)2=−4sin⁡y(2−cos⁡y)3解：方程两边对x求导 \\ 1-y^{'}+\frac{1}{2}\cos yy^{'}=0 ，y^{'}=\frac{2}{2-\cos y} \\ y^{''}=\frac{0-2(\sin yy^{'})}{(2-\cos y)^2}=\frac{-4\sin y}{(2-\cos y)^3} \\ 解：方程两边对x求导1−y′+21cosyy′=0，y′=2−cosy2y′′=(2−cosy)20−2(sinyy′)=(2−cosy)3−4siny

某些场合，利用对数求导法比通用的方法简便些。

例6：求y=xsin⁡x(x>0)y=x^{\sin x}(x\gt0)y=xsinx(x>0)的导数。
两边取对数，得ln⁡y=sin⁡xln⁡x,两边对x求导y′y=cos⁡xln⁡x+sin⁡xxy′=xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)两边取对数，得 \\ \ln y=\sin x \ln x, 两边对x求导 \\ \frac{y^{'}}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x} \\ y^{'}=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}) 两边取对数，得lny=sinxlnx,两边对x求导yy′=cosxlnx+xsinxy′=xsinx(cosxlnx+xsinx)
例7：求y=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}y=(x−3)(x−4)(x−1)(x−2)的导数。
(ln⁡∣x∣)′=1x两边取对数,得ln⁡∣y∣=ln⁡(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)=12(ln⁡(x−1)+ln⁡(x−2)−ln⁡(x−3)−ln⁡(x−4))两边对x求导y′y=12(1x−1+1x−2−1x−3−1x−4)y′=12(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(1x−1+1x−2−1x−3−1x−4)(\ln|x|)^{'}=\frac{1}{x} \\ 两边取对数,得 \\ \ln|y|=\ln\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}=\frac{1}{2}(\ln(x-1)+\ln(x-2)-\ln(x-3)-\ln(x-4)) \\ 两边对x求导 \\ \frac{y^{'}}{y}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}) \\ y^{'}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}) (ln∣x∣)′=x1两边取对数,得ln∣y∣=ln(x−3)(x−4)(x−1)(x−2)=21(ln(x−1)+ln(x−2)−ln(x−3)−ln(x−4))两边对x求导yy′=21(x−11+x−21−x−31−x−41)y′=21(x−3)(x−4)(x−1)(x−2)(x−11+x−21−x−31−x−41)

当求f(x)f(x)f(x)为幂指函数或多项乘、除时，可以两边取对数转化为隐函数求导。

3 由参数方程确定的函数

一般地，若参数方程
{x=ϕ(t)y=ψ(t)(4−3)\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \qquad(4-3) \end{cases} {x=ϕ(t)y=ψ(t)(4−3)
确定y与x直接的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(4-3)所确定的函数。

若x=ϕ(t),y=ψ(t)x=\phi(t),y=\psi(t)x=ϕ(t),y=ψ(t)都可导，且ϕ(t)′≠0\phi(t)^{'}\not=0ϕ(t)′=0又x=ϕ(t)存在反函数t=ϕ−1(x)x=\phi(t)存在反函数t=\phi^{-1}(x)x=ϕ(t)存在反函数t=ϕ−1(x)，则

dydx=ψ′(t)ϕ′(t)或dydx=dydtdxdt\frac{dy}{dx}=\frac{\psi^{'}(t)}{\phi^{'}(t)}或\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}dxdy=ϕ′(t)ψ′(t)或dxdy=dtdxdtdy

如果此时x=ϕ(t),y=ψ(t)x=\phi(t),y=\psi(t)x=ϕ(t),y=ψ(t)二阶可导，那么由参数方程确定的函数的二阶导数为：

d2ydx2=ddt(dydx)⋅1dxdt\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dt}}dx2d2y=dtd(dxdy)⋅dtdx1

证明：t=ϕ−1(x),则y=ψ(t)=ψ[ϕ−1(x)]根据复合函数求导法则,有dydx=dydt⋅dtdx=dydt⋅1dxdt=ψ′(t)ϕ′(t)证明：t=\phi^{-1}(x),则y=\psi(t)=\psi[\phi^{-1}(x)] \\ 根据复合函数求导法则,有 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi^{'}(t)}{\phi^{'}(t)} 证明：t=ϕ−1(x),则y=ψ(t)=ψ[ϕ−1(x)]根据复合函数求导法则,有dxdy=dtdy⋅dxdt=dtdy⋅dtdx1=ϕ′(t)ψ′(t)

例8 已知椭圆的参数方程为
{x=acos⁡(t)y=bsin⁡(t)\begin{cases} x=a\cos(t) \\ y=b\sin(t) \end{cases} {x=acos(t)y=bsin(t)
求椭圆在t=π4t=\frac{\pi}{4}t=4π相应点处的切线方程。
椭圆在t=π4处坐标为(2a2,2b2),切线斜率为dydx∣π4=(bsin⁡t)′(acos⁡t)′=−ba切线方程为y−2b2=−ba(x−2a2)化简得bx+ay−2ab=0椭圆在t=\frac{\pi}{4}处坐标为(\frac{\sqrt{2}a}{2},\frac{\sqrt{2}b}{2}),切线斜率为\\ \frac{dy}{dx}|_{\frac{\pi}{4}}=\frac{(b\sin t)^{'}}{(a\cos t)^{'}}=-\frac{b}{a}\\ 切线方程为y-\frac{\sqrt{2}b}{2}=-\frac{b}{a}(x-\frac{\sqrt{2}a}{2}) 化简得\\ bx+ay-\sqrt{2}ab=0 椭圆在t=4π处坐标为(22a,22b),切线斜率为dxdy∣4π=(acost)′(bsint)′=−ab切线方程为y−22b=−ab(x−22a)化简得bx+ay−2ab=0

4 相关变化率

设x=x(t)及y=y(t)x=x(t)及y=y(t)x=x(t)及y=y(t)都可导函数，而变量x与yx与yx与y间存在某种关系，从而变化率dxdt与dydt\frac{dx}{dt}与\frac{dy}{dt}dtdx与dtdy间也存在一定的关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。

例9 一气球从距离观察员500m处离地面铅直上升，当气球高度为500m时，其速率为140m/min.求此时观察员视线的仰角增加的速率是多少？

如图所示：

观察员仰角α随时间t变化关系α(t)，气球高度h随时间t变化关系h(t)则tan⁡α(t)=h(t)500两边对t求导，得sec⁡2α(t)dα(t)dt=1500dh(t)dtdα(t)dt=1sec⁡2α(t)1500dh(t)dth(t)=500时，sec⁡2α=1+tan⁡2α=2,dh(t)dt=140m/min带入上述公式dα(t)dt=0.14rad/min观察员仰角\alpha随时间t变化关系\alpha(t)，气球高度h随时间t变化关系h(t) 则\\ \tan\alpha(t)=\frac{h(t)}{500} \\ 两边对t求导，得\\ \sec^2\alpha(t)\frac{d\alpha(t)}{dt}=\frac{1}{500}\frac{dh(t)}{dt} \\ \frac{d\alpha(t)}{dt}=\frac{1}{\sec^2\alpha(t)}\frac{1}{500}\frac{dh(t)}{dt} \\ h(t)=500时，\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha=2,\frac{dh(t)}{dt}=140m/min 带入上述公式\\ \frac{d\alpha(t)}{dt}=0.14rad/min 观察员仰角α随时间t变化关系α(t)，气球高度h随时间t变化关系h(t)则tanα(t)=500h(t)两边对t求导，得sec2α(t)dtdα(t)=5001dtdh(t)dtdα(t)=sec2α(t)15001dtdh(t)h(t)=500时，sec2α=1+tan2α=2,dtdh(t)=140m/min带入上述公式dtdα(t)=0.14rad/min
例10: 落在平静的水面上石头产生同心波纹，若最外圈波纹半径的增大速率为6m/s,问在2s末扰动水面面积增大的速率为多少
设t时刻最外圈波纹的半径为人，面积为A，则drdt=6,A=πr2,所以dAdt=dAdr⋅drdt=2πr⋅6=12πrt=2时，r=12m,dAdt=12π⋅12=144πm2/s设t时刻最外圈波纹的半径为人，面积为A ，则\\ \frac{dr}{dt}=6 ,A =\pi r^2 ,所以\\ \frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi r\cdot6=12\pi r \\ t=2时，r=12m ,\frac{dA}{dt}=12\pi\cdot12=144\pi\quad m^2/s 设t时刻最外圈波纹的半径为人，面积为A，则dtdr=6,A=πr2,所以dtdA=drdA⋅dtdr=2πr⋅6=12πrt=2时，r=12m,dtdA=12π⋅12=144πm2/s
例11 已知一长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当t=12cm，w=5cm时，该长方形的对角线增加的速率是多少？
设对角线y(t)则y2(t)=l2(t)+w2(t)两边对t求导，得2y(t)dy(t)dt=2l(t)dl(t)dt+2w(t)dw(t)dtdy(t)dt=1l2+w2(ldldt+wdwdt)t=12,w=5带入得dy(t)dt=113(12⋅2+5⋅3)=3cm/s设对角线y(t) \\ 则y^2(t)=l^2(t)+w^2(t) \\ 两边对t求导，得 \\ 2y(t)\frac{dy(t)}{dt}=2l(t)\frac{dl(t)}{dt}+2w(t)\frac{dw(t)}{dt}\\ \frac{dy(t)}{dt}=\frac{1}{\sqrt{l^2+w^2}}(l\frac{dl}{dt}+w\frac{dw}{dt}) \\ t=12,w=5带入得 \\ \frac{dy(t)}{dt}=\frac{1}{13}(12\cdot2+5\cdot3)=3cm/s 设对角线y(t)则y2(t)=l2(t)+w2(t)两边对t求导，得2y(t)dtdy(t)=2l(t)dtdl(t)+2w(t)dtdw(t)dtdy(t)=l2+w21(ldtdl+wdtdw)t=12,w=5带入得dtdy(t)=131(12⋅2+5⋅3)=3cm/s

5 后记

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学第七版上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P101~p108.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p16.