0203高阶导数-导数与微分-高等数学

文章目录

1 高阶导数的定义
2 高阶导数的求导
- 2.1 直接法
- 2.2 间接法
3 后记

1 高阶导数的定义

一般地，函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的导数y′=f′(x)y^{'}=f^{'}(x)y′=f′(x)仍然是xxx的导数。我们把y′=f′(x)y^{'}=f^{'}(x)y′=f′(x)的导数叫做函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的二阶导数，记做y′′或者dy2dx2y^{''}或者\frac{dy^2}{dx^2}y′′或者dx2dy2;类似地，二级导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…一般地，(n−1)(n-1)(n−1)阶导数的导数叫做n阶导数，分别记做

y′′′,y(4),⋯,y(n)y^{'''},y^{(4)},\cdots,y^{(n)}y′′′,y(4),⋯,y(n)或者dy3dx3,dy4dx4,⋯,dyndxn\frac{dy^{3}}{dx^3},\frac{dy^4}{dx^4},\cdots,\frac{dy^{n}}{dx^n}dx3dy3,dx4dy4,⋯,dxndyn

二阶即二阶以上的导数统称高阶导数。

注：

零阶导数：f(x)f(x)f(x),一阶导数：f′f^{'}f′
若f(x)f(x)f(x)在x处具有n阶导数，那么f(x)f(x)f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。
C(a,b):在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内连续的函数的集合,D(a,b)D(a,b)D(a,b)所有在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导的函数的集合。

2 高阶导数的求导

2.1 直接法

例1：求y=eλx的ny=e^{\lambda x}的ny=eλx的n阶导数(λ\lambdaλ为常数)
y′=λeλx,y′′=λ2eλx，⋯,y(n)=λneλxy^{'}=\lambda e^{\lambda}x,y^{''}=\lambda^2 e^{\lambda}x，\cdots,y^{(n)}=\lambda^{n} e^{\lambda}x y′=λeλx,y′′=λ2eλx，⋯,y(n)=λneλx

(ex)(n)=ex(e^{x})^{(n)=e^{x}}(ex)(n)=ex

(eλx)(n)=λneλx(e^{\lambda x})^{(n)}=\lambda^{n} e^{\lambda}x(eλx)(n)=λneλx

例2：求y=sin⁡ωx的ny=\sin\omega x的ny=sinωx的n阶导数
解：y′=ωcos⁡ωx=ωsin⁡(ωx+π2)y′′=ω2cos⁡(ωx+π2)=ω2sin⁡(ωx+2⋅π2)...y(n)=ωnsin⁡(ωx+n⋅π2)解：y^{'}=\omega\cos\omega x=\omega\sin(\omega x+\frac{\pi}{2}) \\ y^{''}=\omega^2\cos(\omega x+\frac{\pi}{2})=\omega^2\sin(\omega x+2\cdot\frac{\pi}{2}) \\ ... \\ y^{(n)}=\omega^n\sin(\omega x+n\cdot\frac{\pi}{2}) 解：y′=ωcosωx=ωsin(ωx+2π)y′′=ω2cos(ωx+2π)=ω2sin(ωx+2⋅2π)...y(n)=ωnsin(ωx+n⋅2π)

(sin⁡x)(n)=sin⁡(x+n⋅π2)(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\cdot\frac{\pi}{2})(sinx)(n)=sin(x+n⋅2π)

(sin⁡ωx)(n)=ωnsin⁡(ωx+n⋅π2)(\sin\omega x)^{(n)}=\omega^n\sin(\omega x +n\cdot\frac{\pi}{2})(sinωx)(n)=ωnsin(ωx+n⋅2π)

(cos⁡x)(n)=cos⁡(x+n⋅π2)(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\cdot\frac{\pi}{2})(cosx)(n)=cos(x+n⋅2π)

(cos⁡ωx)(n)=ωncos⁡(ωx+n⋅π2)(\cos\omega x)^{(n)}=\omega^n\cos(\omega x+n\cdot\frac{\pi}{2})(cosωx)(n)=ωncos(ωx+n⋅2π)

例3：求:y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c的一阶、二阶、三阶导数
y′=2ax+b,y′′=2a,y′′′=0y^{'}=2ax+b,y^{''}=2a,y^{'''}=0 y′=2ax+b,y′′=2a,y′′′=0

一般地，f(x)=a0xn+a1xn−1+...+an−1x+anf(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a^{n-1}x+a_nf(x)=a0xn+a1xn−1+...+an−1x+an

f(n)(x)=a0n!,f(n+k)(x)=0(k=1,2,⋯)f^{(n)}(x)=a_0n!,f^{(n+k)}(x)=0(k=1,2,\cdots)f(n)(x)=a0n!,f(n+k)(x)=0(k=1,2,⋯)

幂函数xm的n阶导数为x^m的n阶导数为xm的n阶导数为
(xm)(n)={m(m−1)⋅(m−n+1)xm−n，m>nn!,m=n0，m<n(x^m)^{(n)}= \begin{cases} m(m-1)\cdot(m-n+1)x^{m-n} ，m\gt n \\ n!,\qquad m=n \\ 0，\qquad m\lt n \end{cases} (xm)(n)=⎩⎪⎨⎪⎧m(m−1)⋅(m−n+1)xm−n，m>nn!,m=n0，m<n
m∈N+m\in N^+m∈N+

例4：求y=(x+c)μ的ny=(x+c)^\mu的ny=(x+c)μ的n阶导数。
y′=μ(x+c)u−1y′′=μ(μ−1)(x+c)u−2y(n)=μ(μ−1)⋯(μ−n+1)(x+c)u−n(n=1,2,⋯)y^{'}=\mu(x+c)^{u-1} \\ y^{''}=\mu(\mu-1)(x+c)^{u-2} \\ y^{(n)}=\mu(\mu-1)\cdots(\mu-n+1)(x+c)^{u-n}(n=1,2,\cdots) \\ y′=μ(x+c)u−1y′′=μ(μ−1)(x+c)u−2y(n)=μ(μ−1)⋯(μ−n+1)(x+c)u−n(n=1,2,⋯)

μ=−1时,(1x+c)(n)=(−1)nn!(x+c)n+1\mu=-1时,(\frac{1}{x+c})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+c)^{n+1}}μ=−1时,(x+c1)(n)=(x+c)n+1(−1)nn!

[ln⁡(1+x)](n)=(1x+c)(n−1)=(−1)n−1(n−1)!(x+1)n[\ln(1+x)]^{(n)}=(\frac{1}{x+c})^{(n-1)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+1)^n}[ln(1+x)](n)=(x+c1)(n−1)=(x+1)n(−1)n−1(n−1)!

常用高阶导数公式：

(1)(eλx)(n)=λneλx\quad(e^{\lambda x})^{(n)}=\lambda^ne^{\lambda x}(eλx)(n)=λneλx

(2)(sin⁡ωx)(n)=ωnsin⁡(ωx+n⋅π2)\quad(\sin\omega x)^{(n)}=\omega^n\sin(\omega x+n\cdot\frac{\pi}{2})(sinωx)(n)=ωnsin(ωx+n⋅2π)

(3)(cos⁡ωx)(n)=ωncos⁡(ωx+n⋅π2)\quad(\cos\omega x)^{(n)}=\omega^n\cos(\omega x+n\cdot\frac{\pi}{2})(cosωx)(n)=ωncos(ωx+n⋅2π)

(4)[ln⁡(1+x)](n)=(−1)n−1(n−1)!(x+1)nx>−1\quad[\ln(1+x)]^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+1)^n}\quad x\gt-1[ln(1+x)](n)=(x+1)n(−1)n−1(n−1)!x>−1

(5)(1x+1)(n)=(−1)nn!(x+1)n+1\quad(\frac{1}{x+1})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+1)^{n+1}}(x+11)(n)=(x+1)n+1(−1)nn!

(6)(1ax+b)(n)=(−1)nn!an(ax+b)n+1a≠0\quad(\frac{1}{ax+b})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!a^n}{(ax+b)^{n+1}}\quad a\not=0(ax+b1)(n)=(ax+b)n+1(−1)nn!ana=0

2.2 间接法

高阶导数的运算法则：

设u=u(x),v=v(x)具有n阶导数，则u=u(x),v=v(x)具有n阶导数，则u=u(x),v=v(x)具有n阶导数，则

(1)(u±v)(n)=u(n)±v(n)\quad(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}(u±v)(n)=u(n)±v(n)

(2)(Cu)(n)=Cu(n),(C∈R)\quad(Cu)^{(n)}=Cu^{(n)},(C\in R)(Cu)(n)=Cu(n),(C∈R)

(3)(uv)(n)=Cn0u(n)v(0)+Cn1u(n−1)v(1)+⋯+Cnku(n−k)v(k)+⋯+Cnnu(0)v(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)\quad (uv)^{(n)}=C^0_nu^{(n)}v^{(0)}+C^1_nu^{(n-1)}v^{(1)}+\cdots+C^k_nu^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots+C^n_nu^{(0)}v^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{C^k_nu^{(n-k)}v^{(k)}}(uv)(n)=Cn0u(n)v(0)+Cn1u(n−1)v(1)+⋯+Cnku(n−k)v(k)+⋯+Cnnu(0)v(n)=k=0∑nCnku(n−k)v(k)

(3)式被称为莱布尼茨公式

间接法就是利用高阶导数的运算法则及高阶导数的公式，通过适当的变形来求高阶导数的方法。

例6：求y=xx2−1的ny=\frac{x}{x^2-1}的ny=x2−1x的n阶导数。
y=xx2−1=12(1x−1+1x+1)y(n)=12(1x−1+1x+1)(n)=12[(1x−1)(n)+1x+1)(n)]=12[(−1)nn!(x−1)n+1+(−1)nn!(x+1)n+1]=(−1)nn!2[1(x−1)n+1+1(x+1)n+1]y=\frac{x}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}) \\ y^{(n)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1})^{(n)}=\frac{1}{2}[(\frac{1}{x-1})^{(n)}+\frac{1}{x+1})^{(n)}] \\ =\frac{1}{2}[\frac{(-1)^nn!}{(x-1)^{n+1}}+\frac{(-1)^nn!}{(x+1)^{n+1}}]=\frac{(-1)^nn!}{2}[\frac{1}{(x-1)^{n+1}}+\frac{1}{(x+1)^{n+1}}] y=x2−1x=21(x−11+x+11)y(n)=21(x−11+x+11)(n)=21[(x−11)(n)+x+11)(n)]=21[(x−1)n+1(−1)nn!+(x+1)n+1(−1)nn!]=2(−1)nn![(x−1)n+11+(x+1)n+11]
例7：设y=sin⁡6x+cos⁡6x,求y(n)y=\sin^6x+\cos^6x,求y^{(n)}y=sin6x+cos6x,求y(n)
如果直接计算的话会很复杂，那么我们尝试先化简y=sin⁡6x+cos⁡6x=(sin⁡2x+cos⁡2x)(sin⁡4x+sin⁡2xcos⁡2x+cos⁡4x)=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−3sin⁡2xcos⁡2x=1−34(−12cos⁡4x−1)=78+38cos4xy(n)=(78+38cos4x)(n)=384ncos⁡(4x+n⋅π2)如果直接计算的话会很复杂，那么我们尝试先化简 \\ y=\sin^6x+\cos^6x=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x+\sin^2x\cos^2x+\cos^4x) \\ =(\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x=1-\frac{3}{4}(-\frac{1}{2}\cos4x-1) \\ =\frac{7}{8}+\frac{3}{8}cos4x \\ y^{(n)}=(\frac{7}{8}+\frac{3}{8}cos4x)^{(n)}=\frac{3}{8}4^n\cos(4x+n\cdot\frac{\pi}{2}) 如果直接计算的话会很复杂，那么我们尝试先化简y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x+sin2xcos2x+cos4x)=(sin2x+cos2x)2−3sin2xcos2x=1−43(−21cos4x−1)=87+83cos4xy(n)=(87+83cos4x)(n)=834ncos(4x+n⋅2π)
例8：求y=x2e−x的10y=x^2e^{-x}的10y=x2e−x的10阶导数
y(10)=(x2e−x)(10)=∑k=0n(x2)(k)(e−x)(n−k)=C100x2(e−x)(10)+C101(x2)′(e−x)(9)+C102(x2)′′(e−x)(8)=x2(e−x)−10⋅2x(e−x)+45⋅2(e−x)=e−x(x2−20x+90)y^{(10)}=(x^2e^{-x})^{(10)}=\displaystyle\sum_{k=0}^n(x^2)^{(k)}(e^{-x})^{(n-k)} \\ =C_{10}^0x^2(e^{-x})^{(10)}+C_{10}^1(x^2)^{'}(e^{-x})^{(9)}+C_{10}^2(x^2)^{''}(e^{-x})^{(8)} \\ =x^2(e^{-x})-10\cdot2x(e^{-x})+45\cdot2(e^{-x})=e^{-x}(x^2-20x+90) y(10)=(x2e−x)(10)=k=0∑n(x2)(k)(e−x)(n−k)=C100x2(e−x)(10)+C101(x2)′(e−x)(9)+C102(x2)′′(e−x)(8)=x2(e−x)−10⋅2x(e−x)+45⋅2(e−x)=e−x(x2−20x+90)
注：莱布尼茨公式适用范围

求两个函数乘积的高阶导数
一般地，其中有一个函数是幂函数/多项式函数

例9：设y=arctan⁡x,求y(n)(0),(n>1)y=\arctan x,求y^{(n)}(0),(n\gt1)y=arctanx,求y(n)(0),(n>1)
直接求n阶导数很复杂，先求一阶导数y′=1x2+1→y′(x2+1)=1等式左侧为2个关于x的函数乘积形式，其他一个为多项式。[y′(x2+1)](n−1)=0Cn−10(x2+1)y(n)+Cn−11(x2+1)′y(n−1)+Cn−12(x2+1)′′y(n−2)=(x2+1)y(n)+(n−1)2xy(n−1)+(n−1)(n−2)y(n−2)=0把x=0带入：y(n)(0)=−(n−1)(n−2)y(n−2)(0)y′(0)=1,y′′(0)=0因此y(n)(0)={0,n=2k,(−1)k(2k)!,n=2k+1(k=0,1,2,⋯)直接求n阶导数很复杂，先求一阶导数 \\ y^{'}=\frac{1}{x^2+1}\rightarrow y^{'}(x^2+1)=1 \\ 等式左侧为2个关于x的函数乘积形式，其他一个为多项式。 \\ [y^{'}(x^2+1)]^{(n-1)}=0 \\ C_{n-1}^0(x^2+1)y^{(n)}+C_{n-1}^1(x^2+1)^{'}y^{(n-1)}+C_{n-1}^2(x^2+1)^{''}y^{(n-2)} \\ =(x^2+1)y^{(n)}+(n-1)2xy^{(n-1)}+(n-1)(n-2)y^{(n-2)}=0 \\ 把x=0带入： y^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)y^{(n-2)}(0) \\ y^{'}(0)=1,y^{''}(0)=0 因此 \\ y^{(n)}(0)= \begin{cases} 0,\quad n=2k, \\ (-1)^k(2k)!,n=2k+1(k=0,1,2,\cdots) \end{cases} 直接求n阶导数很复杂，先求一阶导数y′=x2+11→y′(x2+1)=1等式左侧为2个关于x的函数乘积形式，其他一个为多项式。[y′(x2+1)](n−1)=0Cn−10(x2+1)y(n)+Cn−11(x2+1)′y(n−1)+Cn−12(x2+1)′′y(n−2)=(x2+1)y(n)+(n−1)2xy(n−1)+(n−1)(n−2)y(n−2)=0把x=0带入：y(n)(0)=−(n−1)(n−2)y(n−2)(0)y′(0)=1,y′′(0)=0因此y(n)(0)={0,n=2k,(−1)k(2k)!,n=2k+1(k=0,1,2,⋯)

3 后记

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学第七版上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P96~p100.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p15.