漫步数学分析十七——连续映射上的运算

连续函数的复合应该是连续的，这个结论从直观上不太令人信服。对于函数f:A→Rm,g:B→Rpf:A\to R^m,g:B\to R^p其中f(A)⊂Bf(A)\subset B，我们定义复合g∘f:A→Rpg\circ f:A\to R^p 为x↦g(f(x))x\mapsto g(f(x))，如果xx靠近x0x_0，那么g∘f(x)g\circ f(x)靠近g∘f(x0)g\circ f(x_0)，因为f(x)f(x)靠近f(x0)f(x_0)；因此g(f(x))g(f(x))靠近g(f(x0))g(f(x_0))，如图???\ref{fig:4-3} 所示。

图1

这暗示了下面的结论。

定理3\textbf{定理3} 假设f:A→Rm,g:B→Rpf:A\to R^m,g:B\to R^p是连续函数，其中f(A)⊂Bf(A)\subset B，那么g∘f:A→Rpg\circ f:A\to R^p是连续的。

例如，函数esinxe^{\sin x}是连续的，因为它是两个连续函数f(x)=sinx,g(x)=exf(x)=\sin x,g(x)=e^x的复合。

注意：对于基本函数(像x,exx,e^x等)的一直微积分性质我们直接接受，我们会在后面的例子中用到。

下面的定理给出了极限运算的一些基本性质。

定理4\textbf{定理4} 令A⊂Rn,xA\subset R^n,x是AA的一个聚点

令f:A→Rm;g:A→Rmf:A\to R^m;g:A\to R^m是两个函数；假设limx→x0f(x),limx→x0g(x)\lim_{x\to x_0}f(x),\lim_{x\to x_0}g(x)存在且分别等于a,ba,b，那么limx→x0(f+g)(x)\lim_{x\to x_0}(f+g)(x) 存在且等于a+ba+b(其中f+g:A→Rmf+g:A\to R^m定义为(f+g)(x)=f(x)+g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x))。
- 令f:A→R,g:A→Rmf:A\to R,g:A\to R^m是两个函数；假设limx→x0f(x),limx→x0g(x)\lim_{x\to x_0}f(x),\lim_{x\to x_0}g(x)存在且分别等于a,ba,b，那么limx→x0(f⋅g)(x)\lim_{x\to x_0}(f\cdot g)(x)存在且等于abab(其中f⋅g:A→Rmf\cdot g:A\to R^m定义为(f⋅g)(x)=f(x)g(x)(f\cdot g)(x)=f(x)g(x))。
- 令f:A→R,g:A→Rmf:A\to R,g:A\to R^m是两个函数；假设limx→x0f(x),limx→x0g(x)\lim_{x\to x_0}f(x),\lim_{x\to x_0}g(x)存在且分别等于a≠0,ba\neq 0,b，那么ff在x0x_0的邻域内是非零的并且limx→x0(g/f)(x)\lim_{x\to x_0}(g/f)(x)存在且等于b/ab/a(其中g/f:A→Rmg/f:A\to R^m定义为(g/f)(x)=g(x)/g(x)(g/f)(x)=g(x)/g(x))。
- 这些结果直观上是合理的。例如(i)\textrm{(i)}说明如果xx 靠近x0x_0，使得f(x)f(x)靠近aa并且g(x)g(x)靠近bb，那么f(x)+g(x)f(x)+g(x)靠近a+ba+b。根据定理4，我们可以推导出连续函数运算的一些基本性质。
  
  推论\textbf{推论} 令A⊂Rn,x0∈AA\subset R^n,x_0\in A是AA的一个聚点。
  1. 令f:A→Rm,g:A→Rmf:A\to R^m,g:A\to R^m在x0x_0处连续；那么他们的和f+g:A→Rmf+g:A\to R^m在x0x_0处是连续的。
  2. 令f:A→R,g:A→Rf:A\to R,g:A\to R在x0x_0处连续；那么他们的乘积f⋅g:A→Rmf\cdot g:A\to R^m在x0x_0处连续。
  3. 令f:A→R,g:A→Rmf:A\to R,g:A\to R^m在x0x_0处连续，且f(x0)≠0f(x_0)\neq 0；那么ff在x0x_0的一个邻域UU中不为零且商g/f:U→Rmg/f:U\to R^m在x0x_0处连续。
  4. 例如我们已经看到f(x)=xf(x)=x，从RR映射到RR，是连续的，所以f(x)=xnf(x)=x^n也是连续的；任何多项式anxn+an−1xn−1+⋯+a0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0也是连续的。
    
    接下里考虑f:R2→Rf:R^2\to R，将ff看成两个实变量的函数f(x,y)f(x,y)，有一点非常重要，就是区分ff的连续性与每个变量的连续性。例如考虑函数
    
    f(x,y)={01如果x≠0且y≠0如果x=0或者y=0
    
    f(x,y)= \begin{cases} 0&\text{如果}x\neq0\text{且}y\neq0\\ 1&\text{如果}x=0\text{或者}y=0 \end{cases}
    
    如图???\ref{fig:4-4}所示，考虑单个变量时，ff在(0,0)(0,0)处连续(映射x↦f(x,0),y↦y→f(0,y)x\mapsto f(x,0),y\mapsto y\to f(0,y)是常数，所以它是连续的)，但是ff本身在(0,0)(0,0) 处不连续。
    
    图2
    
    例1：\textbf{例1：}令 f:R→R,f(x)=xsinxf:R\to R,f(x)=x\sin x，说明 ff是连续的。
    
    解：\textbf{解：}我们知道 x,sinxx,\sin x是连续函数，并且 ff是两个连续函数的乘积，所以函数是连续的。
    
    例2：\textbf{例2：}令 f:R→R2f:R\to R^2是连续的，说明 g(x)=f(x2+x3)g(x)=f(x^2+x^3)是连续的。
    
    解：\textbf{解：}gg是连续函数x↦x2+x3x\mapsto x^2+x^3与ff的复合，所以根据定理3可知它是连续的。
    
    例3：\textbf{例3：}令f(x)=x2/(1+x)f(x)=x^2/(1+x)，ff在哪里是连续的？
    
    解：\textbf{解：}根据定理4(iii)\textrm{(iii)}可知，ff在x≠−1x\neq -1外的所有点都是连续的。

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