漫步数学分析番外二(上)

定理1\textbf{定理1} 在RnR^n中，对于每个ε>0,x∈Rn\varepsilon>0,x\in R^n，集合D(x,ε)D(x,\varepsilon)是开的。

证明：\textbf{证明：}选择y∈D(x,ε)y\in D(x,\varepsilon)，我们必须产生一个ε′\varepsilon^{'}使得D(y,ε′)⊂D(x,ε)D(y,\varepsilon^{'})\subset D(x,\varepsilon)。图1表明我们可以选择ε′=ε−d(x,y)\varepsilon^{'}=\varepsilon-d(x,y)，因为d(x,y)<εd(x,y)，所以它是正值。对于这个选择(依赖于yy)，我们将说明D(y,ε′)⊂D(x,ε)D(y,\varepsilon^{'})\subset D(x,\varepsilon)，令z∈D(y,ε′)z\in D(y,\varepsilon^{'})，所以d(z,y)<ε′d(z,y)，我们需要说明d(z,x)<εd(z,x)。但是根据三角不等式，d(z,x)≤d(z,y)+d(y,x)<ε′+d(y,x)d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)因为我们选择的ε′\varepsilon^{'}满足ε′=d(y,x)=ε\varepsilon^{'}=d(y,x)=\varepsilon，所以得证。||||

图1

定理2\textbf{定理2}

RnR^n中有限个开子集的交是RnR^n的一个开集。
RnR^n中任意开子集的并是RnR^n的一个开集。

证明：\textbf{证明：}(i)\textrm{(i)}两个开集的交为开集证明后，对于有限个交集可以写成A1∩⋅∩An=(A1∩⋅∩An1)∩AnA_1\cap\cdot\cap A_n=(A_1\cap\cdot\cap A_{n_1})\cap A_n。

令A,BA,B是开集且C=A∩BC=A\cap B；如果C=∅C=\emptyset，那么CC 退化为特殊情况，就是开集，因此，假设x∈Cx\in C，因为A,BA,B是开集，所以存在ε,ε′>0\varepsilon,\varepsilon^{'}>0使得

D(x,ε)⊂AandD(x,ε′)⊂B

D(x,\varepsilon)\subset A\quad\text{and}\quad D(x,\varepsilon^{'})\subset B
令 ε′′\varepsilon^{"}是 ε,ε′\varepsilon,\varepsilon^{'}中较小的那个，那么 D(x,ε′′)⊂D(x,ε)D(x,\varepsilon^{"})\subset D(x,\varepsilon)所以 D(x,ε′′)⊂AD(x,\varepsilon^{"})\subset A。同样地， D(x,ε′′)⊂BD(x,\varepsilon^{"})\subset B，所以 D(x,ε′′)⊂CD(x,\varepsilon^{"})\subset C

(ii)\textrm{(ii)}并的证明比较容易。令U,V,…U,V,\ldots是开集，他们的并是AA。对于x∈Ax\in A，那么存在一个UU使得x∈Ux\in U，因此由于UU是开集，所以存在ε>0\varepsilon>0使得D(x,ε)⊂U⊂AD(x,\varepsilon)\subset U\subset A，这就证明了AA 是开集。||||

定理4\textbf{定理4}集合A⊂RnA\subset R^n是闭的当且仅当AA的所有聚点属于AA。

证明：\textbf{证明：}首先，假设AA是闭的，令x∈Rnx\in R^n是一个聚点且x∉Ax\notin A，集合U=Rn∖AU=R^n\backslash A，即AA的补集。根据定义，UU是包含xx的开集，所以是xx的一个邻域；但是U∩A=∅U\cap A=\emptyset，与事实xx是聚点矛盾。反过来，假设AA包含所有的聚点，令U=Rn∖AU=R^n\backslash A是AA 的补集，我们需要说明UU是开集。令x∈Ux\in U，因为xx不是AA 的聚点，所以存在ε>0\varepsilon>0使得D(x,ε)∩A=∅D(x,\varepsilon)\cap A=\emptyset，因此D(x,ε)⊂UD(x,\varepsilon)\subset U，根据定义可得UU是开集。||||

定理5\textbf{定理5} 令A⊂RnA\subset R^n，那么cl(A)\text{cl}(A) 由AA与AA的所有聚点组成。

证明：\textbf{证明：}令BB是AA与AA所有聚点组成的集合，根据定理4可知任何包含AA的闭集必然包含BB，所以证明BB为闭集后，它将是包含AA的最小闭集。令xx是BB的聚点，我们想说明x∈Bx\in B。假设x∉Ax\notin A(或者x∈Bx\in B)，接下来将说明xx是AA的一个聚点，这样的话就完成了证明(由定理4可知它是闭集)。令UU是包含xx的开集，根据定义存在y∈U∩By\in U\cap B，那么要么y∈Ay\in A，要么yy是AA的一个聚点。对于后一种情况，存在z∈U∩Az\in U\cap A。对于任何情况，UU包含AA中的某个元素(因为x∉Ax\notin A，所以不同于xx)，所以xx 是AA 的一个聚点。||||

定理6\textbf{定理6} 令A⊂RnA\subset R^n，那么x∈bd(A)x\in\text{bd}(A)当且仅当对于每个ε>0\varepsilon>0，D(x,ε)D(x,\varepsilon)包含AA与Rn∖AR^n\backslash A中的点(这些点可能由xx本身组成)。

证明：\textbf{证明：}令x∈bd(A)=cl(A)∩cl(Rn∖A)x\in\text{bd}(A)=\text{cl}(A)\cap\text{cl}(R^n\backslash A)，接下来，要么x∈Ax\in A要么x∈Rn∖Ax\in R^n\backslash A，如果x∈Ax\in A，根据定理5，xx是Rn∖AR^n\backslash A的一个聚点，结论成立。对于x∈Rn∖Ax\in R^n\backslash A的情况情况类似。||||

定理7\textbf{定理7} RnR^n中的一个序列xkx_k收敛到x∈Rnx\in R^n当且仅当对于每个ε>0\varepsilon>0，存在一个NN使得n≥Nn\geq N时∥x−xn∥<ε\Vert x-x_n\Vert。

证明：\textbf{证明：}假设xk→xx_k\to x并且ε>0\varepsilon>0，因为D(x,ε)D(x,\varepsilon)是开的，那么有整数NN使得k≥Nk\geq N 时xk∈D(x,ε)x_k\in D(x,\varepsilon)或者d(x,xk)=∥x−xk∥εd(x,x_k)=\Vert x-x_k\Vert\varepsilon。反过来，假设条件成立且UU是xx 的一个邻域，可以找到ε>0\varepsilon>0使得D(x,ε)⊂UD(x,\varepsilon)\subset U，那么有一个NN使得k≥Nk\geq N时∥xk−x∥<ε\Vert x_k-x\Vert，即xk∈D(x,ε)⊂Ux_k\in D(x,\varepsilon)\subset U。||||

定理8\textbf{定理8} xk→xx_k\to x当且仅当xkx_k的每个元素收敛到xx的每个元素。

证明：\textbf{证明：}令xk=(x1k,…,xnk)x_k=(x_k^1,\ldots,x_k^n)(我们对每个元素加上上标避免与kk混淆)。假设xk→x=(x1,…,xn)x_k\to x=(x^1,\ldots,x^n)，那么给定ε>0\varepsilon>0，选择NN 使得k≥Nk\geq N时∥xk−x∥<ε\Vert x_k-x\Vert，但是

|x1k−x1|≤∥xk−x∥=(∑i=1n(xik−xi)2)1/2

|x_k^1-x^1|\leq\Vert x_k-x\Vert=\left(\sum_{i=1}^n(x_k^i-x^i)^2\right)^{1/2}
这样的话 k≥Nk\geq N也意味着 |x1k−x1|<ε|x_k^1-x^1|，所以 x1k→x1x_k^1\to x^1，同样地可得 xik→xix_k^i\to x^i。

反过来假设对所有的i,xik→xii,x_k^i\to x^i，那么给定ε>0\varepsilon>0，选择一个NN使得k≥Nk\geq N且对所有的i=1,…,ni=1,\ldots,n时(其中NN是所有ii中满足要求的最大值)不等式|xik−xi|<ε/sqrtn|x_k^i-x^i| 成立，那么对于k≥Nk\geq N，下式成立

∥xk−x∥=(∑i=1n(xik−xi)2)1/2<(∑i=1nε2n)1/2=ε

\Vert x_k-x\Vert=\left(\sum_{i=1}^n(x_k^i-x^i)^2\right)^{1/2}
所以 xk→xx_k\to x。 ||||

定理9\textbf{定理9}

集合A⊂RnA\subset R^n是闭的，当且仅当所有收敛序列xk∈Ax_k\in A，极限值都在AA中。
对于集合B⊂Rn,x∈cl(B)B\subset R^n,x\in\text{cl}(B)当且仅当存在一个序列xk∈Bx_k\in B满足xk→xx_k\to x。

证明：\textbf{证明：}(i)\textrm{(i)}首先，假定AA是闭的。假设xk→xx_k\to x且x∉Ax\notin A，那么xx是AA的一个聚点，因为任何xx的邻域在kk足够大时包含xk∈Ax_k\in A，因此由定理4可知x∈Ax\in A。

反过来，我们利用定理4说明AA是闭的。令xx是AA的一个聚点并且选择xk∈D(x,1/k)∩Ax_k\in D(x,1/k)\cap A，那么xk→xx_k\to x，因为对于任意ε>0\varepsilon>0，我们可以选择N≥1/εN\geq1/\varepsilon；然后k≥Nk\geq N时xk∈D(x,ε)x_k\in D(x,\varepsilon)；如图2。因此，根据假设可知x∈Ax\in A，所以AA是闭的。

(ii)\textrm{(ii)} 和上面的类似。

定理10\textbf{定理10} RnR^n中的序列xkx_k收敛到RnR^n中的一点，当且仅当它是柯西序列。

证明：\textbf{证明：}如果xkx_k收敛到xx，那么对ε>0\varepsilon>0，选择一个NN值使得k≥Nk\geq N时∥xk−x∥<ε/2\Vert x_k-x\Vert，那么对k,l≥Nk,l\geq N，利用三角不等式可得∥xk−xl∥=∥(xk−x)+(x−xi)∥≤∥xk−x∥+∥x−xi∥<ε/2+ε/2=ε\Vert x_k-x_l\Vert=\Vert(x_k-x)+(x-x_i)\Vert\leq\Vert x_k-x\Vert+\Vert x-x_i\Vert。

反过来，假设xkx_k是柯西序列，那么因为|xik−xil|≤∥xk−xl∥|x_k^i-x_l^i|\leq\Vert x_k-x_l\Vert，序列中的元素也是实轴上面的柯西序列。利用RR的完备性以及定理3，xikx_k^i收敛到xix^i，那么根据定理8可知xkx_k收敛到x=(x1,…,xn)x=(x^1,\ldots,x^n)。||||

图2

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