霍纳规则中的算法思想

在《算法导论》第二章的思考题中，描述了利用霍纳规则计算多项式的方法。以前自己在写程序的时候都是傻傻的简单粗暴地直接上了，看到这个算法的时候眼前一亮，就多看了一些，果然要比直接计算要效率高很多。为了防止自己以后忘了这个高效的算法，在此记录一下。

简介

据百度百科介绍，霍纳规则用来简化朴素多项式的求值，在中国叫秦九韶算法。霍纳规则是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，霍纳规则依然是最优的算法规则。

直接迭代计算多项式

既然是最优的算法规则，我们可以根据它的计算过程来分析为何它会简化原来的计算过程。一般多项式的表达式如下：

P(n)=∑k=0nakxk=a0+x(a1+x(a2+...+x(an−1+xan)))

P(n)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k=a_0+x(a_1+x(a_2+...+x(a_{n-1}+xa_n)))
最简单直接的计算方法就是直接迭代计算相加，其伪代码如下：

sum=0
for k<---0 to nsum<---sum+ak*x^k

对于每个k，假设计算机的计算幂的时候是采用元素多次相乘，则sum+akxksum+a_kx^k的计算复杂度为k+2k+2（假设加法和乘法指令的时间一样，下同），总的计算时间为

T(n)=c1n+c2(2+3+...+(n+2))=c1n+c2n(n+4)2

T(n)=c_1n+c_2(2+3+...+(n+2))=c_1n+c_2\frac{n(n+4)}{2}
即直接计算的时间复杂度为 θ(n2)θ(n^2)。

霍纳规则计算多项式

霍纳规则采用的是最少乘法策略，它通过巧妙的结构分解，避免了一次次计算幂的过程，简化了乘法计算数目，大大提高了计算效率。再次看一下多项式进行结构分解后的形式：

P(n)=∑k=0nakxk=a0+x(a1+x(a2+...+x(an−1+xan)))

P(n)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k=a_0+x(a_1+x(a_2+...+x(a_{n-1}+xa_n)))
霍纳规则的伪代码如下：

y<---0
for k<---n to 0do y<---ak+x*y

此时，对于每个k，其计算的时间复杂度为2，则霍纳规则计算多项式的总时间为：

T(n)=c1n+c2×2×n=(c1+2c2)n

T(n)=c_1n+c_2\times2\times{n}=(c_1+2c_2)n
即霍纳规则计算多项式的时间复杂度为 θ(n)θ(n)。

显然，θ(n)θ(n)要远远优于θ(n2)θ(n^2)。虽然这只是一个小小的例子，但足以体现出算法思想的力量，以后再写程序决不能蒙着脑袋上去就写了，还真是要好好琢磨一下呢。

祝枫
2016年7月10日于深圳

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