一，概述

问题：求一维数组中连续子向量的最大和。

例如：a[6]={3,4,-2,-9,10,8}; 则最大连续子向量的和 为 10+8 = 18

1）解法一：简单算法

#include <stdio.h> #define max(a, b) ((a)>(b)?(a):(b)) int main() { int a[6]={3,4,-2,-9,10,8}; int i,j,k; int sum=0; int maxsofar=0; for(i=0;i<6;++i) { for(j=i;j<6;++j) { sum=0; for(k=i;k<=j;++k) { sum+=a[k]; } maxsofar=max(maxsofar,sum); } } printf("max=%d\n",maxsofar); return 0; }       2）两个平方算法

算法一：

#include <stdio.h> #define max(a, b) ((a)>(b)?(a):(b)) int main() { int a[6]={3,4,-2,-9,10,8}; int i,j; int sum=0; int maxsofar=0; for(i=0;i<6;++i) { sum=0; for(j=i;j<6;++j) { sum+=a[j]; maxsofar=max(maxsofar,sum); } } printf("max=%d\n",maxsofar); return 0; }
              算法二：#include <stdio.h> #define max(a, b) ((a)>(b)?(a):(b)) int main() { int a[6]={3,4,-2,-9,10,8}; int cumarr[6]; cumarr[-1]=0; int i,j; int sum=0; int maxsofar=0; for(i=0;i<6;++i) { cumarr[i] = cumarr[i-1] + a[i]; } for(i=0;i<6;++i) { sum=0; for(j=i;j<6;++j) { sum = cumarr[j] - cumarr [i-1]; maxsofar=max(maxsofar,sum); } } printf("max=%d\n",maxsofar); return 0; }

3）分治算法

思想：以m为分界线，最大值有三种情况

一：在m左侧

二：在m右侧

三：跨越m

关键：最初求解左右最大值时候，一定要从中间向两侧递增。看源码解释……

#include "stdio.h" #define max(a,b) a>b?a:b int a[6]={3,4,-2,-9,10,8}; int max2(int a,int b,int c) { if(a>b&&a>c) return a; else if(b>a&&b>c) return b; else return c; } int maxsum(int l,int u) { int i,m,sum,lmax,rmax; if(l>u) return 0; if(l==u) return max(0,a[l]); m=(l+u)/2; lmax = sum =0; for(i=m;i>=l;--i) { sum += a[i]; lmax =max(lmax,sum); } printf("m=:%d\n",m); rmax =sum =0; for(i=m+1;i<=u;++i) { sum += a[i]; rmax =max(rmax,sum); } return max2(lmax + rmax , maxsum(l,m) , maxsum(m+1,u) ); } int main() { int maxsofar=maxsum(0,5); printf("max=%d",maxsofar); return 0; }

【注意】 max2() 如果用宏  #define  max(a,b,c)    max(a,b) >c?max(a,b):c  则不会得到正确结果

4）扫描算法

#include "stdio.h" int main() { int a[6]={3,4,-2,-9,10,8}; int i,sum=0; for(i=0;i<6;++i) { sum+=a[i]; if(sum<0) sum=0; } printf("max=%d",sum); return 0; }

二，总结

优化算法的策略

1）保存已经计算的状态，避免重复计算。

2）将信息预处理到数据结构中。例如算法二

3）分治算法，采取更高级的算法

4）扫描算法，巧妙

5）下界：证明某个匹配的下界，确定最优算法

三，习题

10）可以采用两种方法：O(n*n)

#include <stdio.h> #define min(a, b) ((a)>(b)?(b):(a)) #define obs(a) a>0?a:-a int main() { int a[6]={3,4,-2,-9,10,8}; int i,j,k; int sum=0; int maxsofar=65535;//这个很关键 for(i=0;i<6;++i) { for(j=i;j<6;++j) { sum=0; for(k=i;k<=j;++k) { sum+=a[k]; } maxsofar=min(maxsofar,obs(sum)); } } printf("max=%d\n",maxsofar); return 0; }
返回结果是 1

可以采用O(nlogn)的算法

#include <stdio.h> #define min(a, b) ((a)>(b)?(b):(a)) #define obs(a) a>0?a:-a /*先将 轴 记录在temp 中 先从后面向前找小于轴的 放到第一个（即轴所在位置） 再从前向后找 大于轴的元素 存放到 上一步找到的小于轴的位置 总之：要做的是将后面小于轴的 跟 前面大于轴的 做替换 】 当退出while 循环后 因为最后收场的是 i从低端加上来 所以 i 的位置对应 轴最后要存放的位置*/ int Partition(int a[],int i,int j) { int temp=a[i];//记录下轴的位置 while(i<j) { while(i<j&&temp<=a[j])//将比轴小的 移动到低端 j--; a[i]=a[j];//小的 等于后面的大的 (之后的i 会增加)【后面的大的 移动到前面来后 本趟不会再动】 while(i<j&&temp>=a[i])//将比轴大的 移动到高端 【从前往后找 ，找到 小的往后移动】 i++; a[j]=a[i]; // a[j] 存的 上面找到的小的 （在这里改变）小的等于 前面大的 【】 } a[i]=temp;//轴的位置 return i; } void Quicksort(int a[],int i,int j) { int p; if(i<j) { p=Partition(a,i,j); Quicksort(a,i,p-1); Quicksort(a,p+1,j); } } int main() { int a[6]={3,4,-2,-9,10,8}; int cumarr[6]; cumarr[-1]=0; int i,j; int minsofar=65535; for(i=0;i<6;++i) { cumarr[i] = cumarr[i-1] + a[i]; } Quicksort(cumarr,0,4); for(i=0;i<5;++i) { minsofar=min(minsofar,obs(cumarr[i+1] - cumarr [i])); } printf("min=%d\n",minsofar); return 0; }

返回结果是 1

13）最大子数组问题，给定n*n数组，求矩形子数组的最大总和。

详见博客：http://blog.csdn.net/tianshuai11/article/details/7487882