CF1740H MEX Tree Manipulation

题目描述

有一棵不断加叶子的树，叶子的权值是0，其余节点的权值是其子节点的 mex \texttt{mex} mex

mex \texttt{mex} mex定义为最小的没有出现过的自然数。

解题思路

首先离线建树，把树做轻重链剖分。

对于一个节点 u u u，设其轻儿子中最小的没有出现能过的自然数是 A A A，次小的是 B B B，其重儿子权值是 x x x。

若 x = A x=A x=A，则 v ( u ) = B v(u)=B v(u)=B
若 x ≠ A x\neq A x=A，则 v ( u ) = A v(u)=A v(u)=A

我们可以用一个五元组 ( v , A , B , X , Y ) (v,A,B,X,Y) (v,A,B,X,Y)来描述这样的信息：

若 x = v x=v x=v，则返回的是 A A A，权值和会加上 X X X。
若 x ≠ v x\neq v x=v，则返回的是 B B B，权值和会加上 Y Y Y。

观察到这样的信息是可以合并的，因此我们用线段树维护一条重链的信息。

修改和普通动态 d p dp dp的修改是类似的

有一个小细节是一个点的权值是 O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)的，因此可以用数组存储每个点轻子树的点权，方便求出 A , B A,B A,B。

复杂度 O ( n l o g 2 n ) O(nlog^2n) O(nlog2n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e5+7;
typedef long long LL;
struct Info
{int x;int A1,A2;LL S1,S2; Info(){x=A1=A2=S1=S2=-1;}Info(int a,int b,LL c,int d,LL e){x=a;A1=b;S1=c;A2=d;S2=e;}
};
inline void process(int &v,LL &w,Info U)
{if(v==U.x) {v=U.A1;w+=U.S1;}else{v=U.A2;w+=U.S2;}
}
Info Push(Info A,Info B)
{if(A.x==-1)return B;Info C;C.x=A.x;int v;LL w;v=A.A1,w=A.S1;process(v,w,B);C.A1=v;C.S1=w;v=A.A2;w=A.S2;process(v,w,B);C.A2=v;C.S2=w; return C;
}
int n;
struct edge
{int y,next;
}e[2*N];
int link[N],t=0;
void add(int x,int y)
{e[++t].y=y;e[t].next=link[x];link[x]=t;
}
int siz[N],top[N],son[N],dfn[N],timer=0;
int fa[N],st[N],ed[N];
void dfs(int x,int pre)
{siz[x]=1;fa[x]=pre;for(int i=link[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;if(y==pre)continue;dfs(y,x);siz[x]+=siz[y];if(siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y;}
}
void Exdfs(int x,int topth)
{top[x]=topth;dfn[x]=++timer;if(x==topth) st[x]=dfn[x];ed[top[x]]=dfn[x];
//  cout<<x<<' '<<topth<<' '<<st[topth]<<' '<<ed[topth]<<endl;if(!son[x])return;Exdfs(son[x],topth);for(int i=link[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;if(y==fa[x]||y==son[x])continue;Exdfs(y,y);}
}
Info tr[N*4];
void update(int k,int l,int r,int x,Info U)
{//  cout<<"update:"<<x<<endl;if(l==r){tr[k]=U;
//  cout<<l<<' '<<r<<' '<<tr[k].x<<' '<<tr[k].A1<<' '<<tr[k].A2<<' '<<tr[k].S1<<' '<<tr[k].S2<<endl;return;}int mid=(l+r)>>1;if(x<=mid) update(k<<1,l,mid,x,U);else update(k<<1|1,mid+1,r,x,U);tr[k]=Push(tr[k<<1|1],tr[k<<1]);
//  cout<<l<<' '<<r<<' '<<tr[k].x<<' '<<tr[k].A1<<' '<<tr[k].A2<<' '<<tr[k].S1<<' '<<tr[k].S2<<endl;
}
Info query(int k,int l,int r,int L,int R)
{if(L<=l&&r<=R)return tr[k];int mid=(l+r)>>1;if(R<=mid)return query(k<<1,l,mid,L,R);if(L>mid) return query(k<<1|1,mid+1,r,L,R);return Push(query(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,R),query(k<<1,l,mid,L,mid));
}
int w[N];
int B[N][30];
LL sum=0;
inline void guess(int x,int &u,int &v)
{//  cout<<u<<' '<<v<<' '<<B[x][0]<<endl;for(int i=0;i<=29;i++)if(!B[x][i]){if(u==-1) u=i;else if(v==-1) v=i;}
}
void modify(int x)
{int p=top[fa[x]];while(p){Info U=query(1,1,n+1,st[p],ed[p]);sum-=U.S2;p=top[fa[p]];   }//w[x]=0;update(1,1,n+1,dfn[x],Info(0,1,1,0,0));p=top[x];
//  cout<<x<<':'<<dfn[x]<<endl;//cout<<query(1,1,n,st[1],ed[1]).S2<<endl;while(p){//  cout<<query(1,1,n,st[1],ed[1]).S2<<endl;
//  cout<<"modify:"<<p<<' '<<w[p]<<' '<<st[p]<<' '<<ed[p]<<' '<<sum<<endl;Info U=query(1,1,n+1,st[p],ed[p]);sum+=U.S2;if(!fa[p])break;if(w[p]>=0) B[fa[p]][w[p]]--;w[p]=U.A2;if(w[p]>=0) B[fa[p]][w[p]]++;int u=-1,v=-1;guess(fa[p],u,v);
//      cout<<"guess:"<<u<<' '<<v<<endl;update(1,1,n+1,dfn[fa[p]],Info(u,v,v,u,u));p=top[fa[p]];}
//  if(x==3)exit(0);
}
int cr[N];
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&cr[i]);add(cr[i],i+1);}for(int i=1;i<=n+1;i++)w[i]=-1;dfs(1,0);Exdfs(1,1);modify(1);for(int i=1;i<=n;i++){modify(i+1);printf("%lld\n",sum);}return 0;
}

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