CF1527D MEX Tree(mex&树&容斥)

考虑简单容斥，meximex_imexi 等于包含[0,i−1][0,i-1][0,i−1]的所有路径减取包含[0,i][0,i][0,i]的路径。

记录：ansians_iansi为包含[0,i][0,i][0,i]的所有路径。

mexi=ansi−1−ansimex_i=ans_{i-1}-ans_imexi=ansi−1−ansi

mex0=n(n−1)2−ans0mex_0=\dfrac{n(n-1)}{2}-ans_0mex0=2n(n−1)−ans0

转化为求ansians_iansi

考虑从小到大递推。

当前包含[0,i−1][0,i-1][0,i−1]的最短路径端点为l,rl,rl,r。

情况1 iii在l,rl,rl,r路径上，不用操作。

情况2 iii为lll或rrr的子树结点，将lll或rrr移动到iii上，答案就是两个子树大小的乘积。

情况3 iii不是l,rl,rl,r的两个lcalcalca，说明无解，直接break，后面的iii都无解。

注意当l=1l=1l=1或r=1r=1r=1 要减取对方的子树大小，再乘积。

时间复杂度：O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ri register int
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+10;
struct node{int to,nxt;
}e[maxn<<1];
int hd[maxn],len;
inline void addedge(int fr,int to){e[++len]={to,hd[fr]};hd[fr]=len;
}
int dep[maxn],fa[maxn],n,son[maxn],t,top[maxn];
ll siz[maxn];
void dfs1(int p,int f){dep[p]=dep[f]+1;fa[p]=f;siz[p]=1;for(ri i=hd[p];i;i=e[i].nxt)if(e[i].to!=f){dfs1(e[i].to,p);siz[p]+=siz[e[i].to];if(siz[e[i].to]>siz[son[p]])son[p]=e[i].to;}
}
void dfs2(int p,int k){top[p]=k;if(son[p]){dfs2(son[p],k);for(ri i=hd[p];i;i=e[i].nxt)if(!top[e[i].to])dfs2(e[i].to,e[i].to);}
}
inline int lca(int x,int y){while(top[x]!=top[y]){if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);x=fa[top[x]];}return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
ll ans[maxn];
int main(){scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d",&n);len=0;memset(hd,0,sizeof hd);memset(son,0,sizeof son);memset(top,0,sizeof top);for(ri i=1,x,y;i<n;++i){scanf("%d%d",&x,&y),++x,++y;addedge(x,y),addedge(y,x);}dfs1(1,0);dfs2(1,1);memset(ans,0,sizeof ans);ll sum=1;for(ri i=hd[1];i;i=e[i].nxt)ans[1]+=siz[e[i].to]*sum,sum+=siz[e[i].to];printf("%lld",1ll*n*(n-1)/2-ans[1]);ri l=1,r=1,sl,sr;for(ri i=2;i<=n;++i){ri a=lca(i,l),b=lca(i,r);if(a==l&&b==1){if(l==1){sl=siz[i];for(ri j=i;fa[j]>1;j=fa[j],sl=siz[j]);}l=i;}else if(b==r&&a==1){if(r==1){sr=siz[i];for(ri j=i;fa[j]>1;j=fa[j],sr=siz[j]);}r=i;}else if(a!=i&&b!=i)break;if(l==1)ans[i]=siz[r]*(n-sr);else if(r==1)ans[i]=siz[l]*(n-sl);else ans[i]=siz[l]*siz[r];}for(ri i=2;i<=n+1;++i)printf(" %lld",ans[i-1]-ans[i]);printf("\n");}return 0;
}

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