电磁场的能量守恒和动量守恒
麦克斯韦方程组
\begin{cases} \nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla\times\mathbf E=-\dfrac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla\cdot\mathbf B=0\\ \nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf j \end{cases}
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf E)=\nabla\cdot(-\dfrac{\partial B}{\partial t})=-\dfrac{\partial (\nabla\cdot \mathbf B)}{\partial t}=0
这说明前两个方程是合理、自洽的.但是
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=\nabla\cdot(\mu_0\mathbf j)=\mu_0(-\dfrac{\partial\rho}{\partial t})
结果并不总是等于00,为此,Maxwell引入位移电流 jd\mathbf j_d,即
\nabla\times\mathbf B=\mu_0(\mathbf{ j+j}_d)
由此
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=\nabla\cdot[\mu_0(\mathbf{ j+j}_d)]=\mu_0[\nabla\cdot \mathbf j_d-\dfrac{\partial\rho}{\partial t}]=\mu_0[\nabla\cdot \mathbf j_d-\varepsilon_0\dfrac{\partial(\nabla\cdot\mathbf E)}{\partial t}]=0\\\Rightarrow\mathbf j_d\equiv\varepsilon_0\dfrac{\partial \mathbf E}{\partial t}
所以方程组修改为
\begin{cases} \nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla\times\mathbf E=-\dfrac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla\cdot\mathbf B=0\\ \nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf j+\varepsilon_0\mu_0\dfrac{\partial \mathbf E}{\partial t} \end{cases}
洛伦兹力方程
宏观
\mathbf F=q\mathbf E+q\mathbf{v\times B}
微观
\mathbf f=\rho\mathbf E+\mathbf j\times \mathbf B
Maxwell方程组和洛伦兹力方程一起构成了经典电动力学的基础。
能量守恒
能量守恒的目标形式是
\iiint W\mathrm d\tau-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint\omega\mathrm d\tau-\oint\mathbf S\cdot\mathrm d\sigma\\=\iiint W\mathrm d\tau-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint\omega\mathrm d\tau-\iiint\nabla\cdot\mathbf S\mathrm d\tau\\\Rightarrow W=-\dfrac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}-\nabla\cdot\mathbf S
其中WW是一定空间VV内在合体能量增加率,ω\omega是电磁场能量密度,S\mathbf S是能流密度.
\begin{array} &W=\mathbf{E\cdot j} \\=\mathbf E\cdot(\dfrac1{\mu_0}\nabla\times \mathbf B-\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}) \\=\dfrac1{\mu_0}\mathbf E\cdot(\nabla\times \mathbf B)-\varepsilon_0\mathbf E\cdot\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t} \\=\dfrac1{\mu_0}[-\nabla\cdot(\mathbf E\times \mathbf B)+\mathbf B\cdot(\nabla\times \mathbf E)]-\varepsilon_0\mathbf E\cdot\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t} \\=-\dfrac1{\mu_0}\nabla\cdot(\mathbf E\times \mathbf B)+\dfrac1{\mu_0}\mathbf B\cdot(\nabla\times \mathbf E)-\varepsilon_0\mathbf E\cdot\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t} \\=-\dfrac1{\mu_0}\nabla\cdot(\mathbf E\times \mathbf B)+\dfrac1{\mu_0}\mathbf B\cdot(-\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t})-\varepsilon_0\mathbf E\cdot\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t} \\=-\nabla\cdot\left[\dfrac1{\mu_0}(\mathbf E\times \mathbf B)\right]-\dfrac12\dfrac{\partial}{\partial t}\left[\dfrac1{\mu_0} B^2+\varepsilon_0 E^2\right] \end{array}
比较一下理想形式,可以得到
\mathbf S=\dfrac1{\mu_0}(\mathbf E\times \mathbf B)\\\omega=\dfrac12\left(\dfrac1{\mu_0} B^2+\varepsilon_0 E^2\right)
动量守恒
动量守恒的目标形式是
\iiint \mathbf f\mathrm d\tau-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint\mathbf g\mathrm d\tau-\oint\vec{\mathbf T}\cdot\mathrm d\sigma\\=\iiint \mathbf f\mathrm d\tau-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint\mathbf g\mathrm d\tau-\iiint\nabla\cdot\vec{\mathbf T}\mathrm d\tau\\\Rightarrow \mathbf f=-\dfrac{\mathrm d\mathbf g}{\mathrm dt}-\nabla\cdot\vec{\mathbf T}
其中f\mathbf f是一定空间VV内在合体动能增加率,g\mathbf g是电磁场动量密度,T⃗ \vec{\mathbf T}是动量流密度.
\begin{array} &\mathbf f=\rho\mathbf E+\mathbf j\times \mathbf B \\=\varepsilon_0(\nabla\cdot \mathbf E)\mathbf E+(\dfrac1{\mu_0}\nabla\times \mathbf B-\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t})\times \mathbf B \\=\varepsilon_0(\nabla\cdot \mathbf E)\mathbf E+\dfrac1{\mu_0}(\nabla\times \mathbf B)\times \mathbf B-\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times \mathbf B \end{array}
利用Maxwell方程组的另外两个方程
0=\dfrac1\mu_0(\nabla\cdot \mathbf B)\mathbf B+\varepsilon_0(\nabla\times \mathbf E)\times \mathbf E+\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}\times \mathbf E
两式相加,得
\begin{array} &\mathbf f=\varepsilon_0[(\nabla\cdot \mathbf E)\mathbf E+(\nabla\times \mathbf E)\times \mathbf E]+\dfrac1\mu_0[(\nabla\cdot \mathbf B)\mathbf B+(\nabla\times \mathbf B)\times \mathbf B]-\varepsilon_0\left[\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times \mathbf B-\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}\times \mathbf E\right] \end{array}
因为
\nabla\cdot(\mathbf E\mathbf E)=(\mathbf E\cdot \nabla)\mathbf E+(\nabla\cdot \mathbf E)\mathbf E\\(\nabla\times \mathbf E)\times \mathbf E=(\mathbf E\cdot\nabla)\mathbf E-\dfrac12\nabla E^2
所以
(\nabla\cdot \mathbf E)\mathbf E+(\nabla\times \mathbf E)\times \mathbf E=\nabla\cdot(\mathbf E\mathbf E)-\dfrac12\nabla E^2\\=\nabla\cdot(\mathbf E\mathbf E)-\dfrac12\nabla\cdot( E^2\vec{\mathbf I})\\=\nabla\cdot(\mathbf E\mathbf E-\dfrac12 E^2\vec{\mathbf I})
同理
(\nabla\cdot \mathbf B)\mathbf B+(\nabla\times \mathbf B)\times \mathbf B=\nabla\cdot(\mathbf B\mathbf B-\dfrac12 B^2\vec{\mathbf I})
又有
\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf E\times \mathbf B)=\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times \mathbf B+\mathbf E\times \dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}\\=\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times \mathbf B- \dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}\times\mathbf E
所以得到
\begin{array} &\mathbf f=-\varepsilon_0\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf E\times \mathbf B)-\nabla\cdot\left(\dfrac12( \varepsilon_0E^2\vec{\mathbf I}+\dfrac1{\mu_0}B^2\vec{\mathbf I})-\varepsilon_0\mathbf E\mathbf E-\dfrac1{\mu_0}\mathbf B\mathbf B\right) \end{array}
比较一下理想形式,可以得到
\mathbf {g}={\varepsilon_0 }\mathbf E\times \mathbf B\\\vec{\mathbf T}=\dfrac12( \varepsilon_0E^2\vec{\mathbf I}+\dfrac1{\mu_0}B^2\vec{\mathbf I})-\varepsilon_0\mathbf E\mathbf E-\dfrac1{\mu_0}\mathbf B\mathbf B
\mathbf g=\varepsilon_0\mu_0\mathbf S=\dfrac{\mathbf S}{c^2}
本篇主要参考俞允强《电动力学简明教程》
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