守恒定律、连续性方程和玻印亭矢量

守恒的东西总是人们乐于接受的，总是觉得冥冥之中有种神秘力量维持着这份永恒。

钻石恒久远，一颗永流传—–鲁迅没说。

确实，虽然这个世界瞬息万变，沧海桑田，中国更是日新月异，但总有些东西是守恒的，目前人们发现的有质量守恒、电荷守恒、能量守恒、动量守恒等，还有别的在某些条件下才成立的守恒。

在经典力学里，动量守恒是牛三定律的直接推论（见下面）。

在一个封闭系统里（没有外力，与外界没有物质或能量交换），假设存在两个相互作用的粒子，根据牛三定律

F1=dp1dt

\boldsymbol{F}_1=\frac{d\boldsymbol{p}_1}{dt}

F2=dp2dt

\boldsymbol{F}_2=\frac{d\boldsymbol{p}_2}{dt}

dp1dt=−dp2dt

\frac{d\boldsymbol{p}_1}{dt}=-\frac{d\boldsymbol{p}_2}{dt}
对上式做一个简单的处理，得到

ddt(p1+p2)=0

\frac{d}{dt}(\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2)=0
即

p1+p2=const.

\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2=const.

动量守恒是空间各向同性（或叫空间平移不变性）的直接数学结果，也就是说物理定律不因所在位置的不同而存在差异。比如，牛顿定律在月球上也一样适用。

在哈密顿力学里，动量是位置的正则共轭量，两者在哈密顿流所构成的相空间里构成了一定的面积。

在线性变换下，面积守恒，且形状不会畸变；如果存在非线性力，则面积虽守恒但形状畸变，即所谓的混沌出现；如果出现耗散力，则面积不再守恒。

因为只要在相空间里存在粒子，则必定存在面积，此时一个位置会对应一个动量分布，同理，一个动量会对应一个位置分布，也就是说这两者没法同时确定，这也就是海森堡不确定性原理的一个体现。（其实，相空间里的一个位置动量共轭对，对应了一个粒子所处的状态）。但测量的时候就不再是这样了。

能量守恒也是一种对称性的体现，那就是时间。也就是说，物理定律不会随着时间的推移而存在差异，牛顿时期的三大定律到现在仍然成立（有人会说，现在老牛的东西过时了，有了相对论，但是，牛顿那个时代难道没有相对论吗？相对论一直都在，只是爱因斯坦在前不久才发现了它而已）。

其实，由诺特（一个热爱数学却备受冷眼的女数学家）定理可以直接推导出能量守恒。

该定理说任何连续一个对称性必定包含一个守恒量。除了时间平移不变和空间平移不变，还有个空间旋转不变，这直接导致了角动量守恒。开普勒面积守恒定律和行星在平面上的向心运动都是角动量守恒的体现。

与动量一样，哈密顿力学里能量和时间是一对正则共轭量。所以能量和时间没法同时测准，测不准原理的再次体现！

哈密顿力学看似是直接把拉格朗日力学做了个勒让德变换，即把广义速度变成了广义动量。

貌似只是数学上的一点改动，其实这一转换直接导致了对称性和守恒量在光天化日之下的关联，而目光敏锐的诺特找到了这种关联，并得出了诺特定理。

能量守恒说能量既不会创造也不会消失，只能从一点转移到另一点。

但这种说法有个明显的缺点，能量能从一个地方突然消失然后在另一个地方突然出现吗？显然是不可能的，超距作用已经被证伪。

一个地方的能量随着时间增加，只能是另一个地方的能量以能流密度的方式从该地方翻越崇山峻岭不间断的流到了这个地方。

就好比水流一样，不可能凭空突然出现一个泉水而另一个地方突然消失了一个泉水。只能是通过水管或地下水在泉水之间流通。

同理，电荷在某个地方堆积，必定是电流在那有流进或流出。

可见，连续性方程使得守恒定律更加严密化。

以流体为例，在dtdt时间里以速度v\boldsymbol{v}流过面积dsd\boldsymbol{s}的总质量为

dm=−ρds⋅vdt

dm=-\rho d\boldsymbol{s}\cdot \boldsymbol{v}dt

这里负号很重要，是有物理意义的。当流体要流进某一个体积时，流体的速度矢量与体积外表面的法线矢量构成的角度α\alpha满足条件

α∈(π2,π]

\alpha\in(\frac{\pi}{2}, \pi]
此时ds⋅v<0d\boldsymbol{s}\cdot \boldsymbol{v}，而从物理上来说，对于同一种物质，流进去意味着量的增加，因此在数学上需要引入负号来化解这种尴尬处境。

猛然一看觉得有悖常理，总觉得负号意味着减少。但这个负号将物理意义与逻辑严密的数学关系联系了起来，使得随后的解析推导只在数学框架下进行，同时也可以随时验证公式背后的物理意义体现得是多么正确。

可以轻松验证一下，当流体流出体积时，流体的速度矢量与体积外表面的法线矢量构成的角度α\alpha满足条件

α∈[0,π2)

\alpha\in[0,\frac{\pi}{2})
此时ds⋅v>0d\boldsymbol{s}\cdot \boldsymbol{v}>0，所以dm<0dm，物理意义很明显，流出去后区域内的质量减少。

单位时间里通过面积SS的质量为

∂M∂t=−∬Sρv⋅ds

\frac{\partial M}{\partial t}=-\iint_S\rho\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{s}

令j=ρv\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}表示通量密度，则

∂M∂t=−∬Sj⋅ds

\frac{\partial M}{\partial t}=-\iint_S\boldsymbol{j}\cdot d\boldsymbol{s}

对于一个封闭的系统，怎么判断系统里的质量增加了还是减少了呢？假设系统里没有“源”也没有“汇”，则质量增加和减少只能通过系统表面的质量流密度是流进还是流出来判断。

该系统单位时间里质量的变化率为

∂∂t∭VρdV=−∬∂Vj⋅ds

\frac{\partial }{\partial t}\iiint_V\rho dV=-\iint_{\partial V}\boldsymbol{j}\cdot d\boldsymbol{s}
（这里符号 ∬∂V\iint_{\partial V}表示体积的整个封闭表面）

对上式右边应用散度定理，得到

∂∂t∭VρdV=−∭V∇⋅jdV

\frac{\partial }{\partial t}\iiint_V\rho dV=-\iiint_V\nabla\cdot\boldsymbol{j}dV

因为体积是任意选定的，所以选择一个无穷小的体积元dVdV，该等式也成立。根据黎曼和定义，积分在小区间可以转成面积求和，所以

∂∂tρdV=−∇⋅jdV

\frac{\partial }{\partial t}\rho dV=-\nabla\cdot\boldsymbol{j}dV
即

∂ρ∂t=−∇⋅j, with j=ρv

\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\nabla\cdot\boldsymbol{j},\ with\ \boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}
上式的物理意义：定性上看，如果某些东西，比如电荷或质量，从一个体积里跑了出来，意味着该体积是一个“源”，所以散度为正值，同时得到结论密度减小。反之亦然；定量上看，抛开方向不说，密度的变化量正比于通量密度在各个方向上的导数和，哪个方向通量密度梯度大则贡献多，对于流体来说就是速度快。

上式即是守恒量的连续性方程，对于不同的守恒量，ρ\rho和j\boldsymbol{j}的意义不一样。对于电荷、质量和能量，ρ\rho分别表示电荷密度、质量密度和能量密度，j\boldsymbol{j}则表示电流密度、质量流密度和能流密度。

如果在封闭体积内存在“源”或“汇”，则上式需要修正，右边加上一项单位时间内单位体积里该量的变化率，σ\sigma

∂ρ∂t=−∇⋅j+σ, with j=ρv

\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\nabla\cdot\boldsymbol{j}+\sigma,\ with\ \boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}
σ>0\sigma>0为“源”， σ<0\sigma为“汇”。

在量子力学里，概率密度是波函数的幅值，即

ρ(r,t)=Ψ∗(r,t)Ψ(r,t)=|Ψ(r,t)|2

\rho(\boldsymbol{r},t)=\Psi^*(\boldsymbol{r},t)\Psi(\boldsymbol{r},t)=|\Psi(\boldsymbol{r},t)|^2

在tt时刻粒子位于体积VV内的概率为

P=Pr∈V(t)=∫Vρ(r,t)dV=∫V|Ψ(r,t)|2dV

P=P_{\boldsymbol{r}\in V}(t)=\int_V\rho(\boldsymbol{r},t)dV=\int_V|\Psi(\boldsymbol{r},t)|^2dV
总概率为1 体现了概率的守恒性。
可见将概率等价为质量，概率密度等价为质量密度，则概率流也满足连续性方程。

在电动力学里，能流密度就是所谓的玻印亭矢量，

S=E×H

\boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}
如果将能量密度等价为电荷密度，能流密度等价为电流密度，则能量守恒下的连续性方程在电动力学里的表述为

∂u∂t=−∇⋅S

\frac{\partial u }{\partial t}=-\nabla\cdot\boldsymbol{S}

玻印亭矢量的国际单位是W/m2W/m^2，表示了通过单位面积的功率，或者通过单位面积单位时间的能量。

玻印亭矢量的方向即电磁场能量流动的方向，根据定义式，这个方向同时垂直于电场和磁场。这也就说明了电磁波是横波。

对于同轴线，内芯走信号，外芯接地，内外构成了一个回路。电场沿着径向且只存在于两个导体之间的绝缘层里，E=E(r)r^\boldsymbol{E}=E(r)\hat{\boldsymbol{r}}；同样，磁场也只存在于绝缘层，但方向沿着角向，H=H(r)θ^\boldsymbol{H}=H(r)\hat{\boldsymbol{\theta}}。

所以，玻印亭矢量为

S=E×H=E(r)H(r)z^

\boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}=E(r)H(r)\hat{\boldsymbol{z}}
可见，能流与电流同向，物理意义很明确，能量从发出端传输到了负载端。

对于圆柱导线，电场和磁场均以距离反比减小，所以能流以距离平方反比减小，其衰减更迅速。所以同轴线可以长距离传输弱信号，同时外层导体对外界干扰也起屏蔽作用。

连续性方程是很多以守恒定律为基础产生的微分方程的基石。比如 convection–diffusion equation, Boltzmann transport equation, Navier–Stokes equations，Fokker–Planck equation，Vlasov equation等。

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