线性代数【四】：向量（1）：线性相关及其判别，极大线性无关组，等价向量组

本节为线性代数复习笔记的第二部分，矩阵的概念与计算（1），主要包括：线性相关的概念，五个判别定理，极大线性无关组和等价向量组。

1. 线性相关

对m个n维向量α1⃗,α2⃗,...,αm⃗\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m}α1,α2,...,αm，若存在一组不全为零的数k1,k2,...,kmk_1,k_2,...,k_mk1,k2,...,km，使得线性组合k1α1⃗+k2α2⃗+...+kmαm⃗=0k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+...+k_m\vec{\alpha_m}=0k1α1+k2α2+...+kmαm=0，则称向量组α1⃗,α2⃗,...,αm⃗\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m}α1,α2,...,αm线性相关。（含有零向量或者有成比例的向量，向量组必然线性相关）
注意有几个等价的判断，即：
1）向量组α1⃗,α2⃗,...,αm⃗\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m}α1,α2,...,αm线性相关⇔\Leftrightarrow⇔
2）A=(α1⃗,α2⃗,...,αm⃗)可逆⇔2）A=(\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m})可逆\Leftrightarrow2）A=(α1,α2,...,αm)可逆⇔
3）∣α1⃗,α2⃗,...,αm⃗∣=03）|\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m}|=03）∣α1,α2,...,αm∣=0
若只有当k1=k2=...=km=0k_1=k_2=...=k_m=0k1=k2=...=km=0时k1α1⃗+k2α2⃗+...+kmαm⃗=0k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+...+k_m\vec{\alpha_m}=0k1α1+k2α2+...+kmαm=0才成立，则称向量组线性无关。

2. 线性相关判别的五个定理

2.1 判别定理(1)

向量β\betaβ可由向量组α1⃗,α2⃗,...,αs⃗\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}α1,α2,...,αs线性表出
⇔\Leftrightarrow⇔
非齐次方程组α1x1+α2x2+...+αsxs=β有解\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+...+\alpha_sx_s=\beta有解α1x1+α2x2+...+αsxs=β有解
⇔\Leftrightarrow⇔
r[α1⃗,α2⃗,...,αs⃗]=r[α1⃗,α2⃗,...,αs⃗,β⃗]r[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}]=r[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s},\vec{\beta}]r[α1,α2,...,αs]=r[α1,α2,...,αs,β]

2.2 判别定理(2)

向量组α1⃗,α2⃗,...,αs⃗\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}α1,α2,...,αs线性相关
⇔\Leftrightarrow⇔
齐次线性方程组α1x1+α2x2+...+αsxs=0\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+...+\alpha_sx_s=0α1x1+α2x2+...+αsxs=0有非零解
⇔\Leftrightarrow⇔
r[α1⃗,α2⃗,...,αs⃗]<sr[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}]<sr[α1,α2,...,αs]<s
⇔\Leftrightarrow⇔
∣α1⃗,α2⃗,...,αs⃗∣=0|\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}|=0∣α1,α2,...,αs∣=0

2.3 判别定理(3)

线性相关充要条件：向量组中至少有一个向量可由其他s-1个向量线性标出

2.4 判别定理(4)

若α1⃗,α2⃗,...,αs⃗\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}α1,α2,...,αs线性无关，而向量组α1⃗,α2⃗,...,αs⃗,β⃗\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s},\vec{\beta}α1,α2,...,αs,β线性相关，则β⃗\vec{\beta}β可由α1⃗,α2⃗,...,αs⃗\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}α1,α2,...,αs唯一线性表出。

2.5 判别定理(5)

I.β1⃗,β2⃗,...,βs⃗，II.α1⃗,α2⃗,...,αt⃗I.\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_s}，II.\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_t}I.β1,β2,...,βs，II.α1,α2,...,αt
若III中每一个向量均可由IIIIII中向量线性表出，且s>t，则向量组III线性相关；
若III中每一个向量均可由IIIIII中向量线性表出，且向量组III线性相关，则s≤ts\leq ts≤t。

3. 极大线性无关组

若α1⃗,α2⃗,...,αs⃗\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}α1,α2,...,αs中存在部分组αi1⃗,αi2⃗,...,αir⃗\vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}}αi1,αi2,...,αir满足：
1）αi1⃗,αi2⃗,...,αir⃗\vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}}αi1,αi2,...,αir线性无关；
2）任一向量αi⃗\vec{\alpha_{i}}αi均可由αi1⃗,αi2⃗,...,αir⃗\vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}}αi1,αi2,...,αir线性表出。
则称αi1⃗,αi2⃗,...,αir⃗\vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}}αi1,αi2,...,αir是原向量组的极大线性无关组。（一般不唯一，线性无关向量组的极大线性无关组即为本身）

4. 等价向量组

I.α1⃗,α2⃗,...,αs⃗，II.β1⃗,β2⃗,...,βt⃗I.\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}，II.\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_t}I.α1,α2,...,αs，II.β1,β2,...,βt
若III中每个αi⃗\vec{\alpha_i}αi均可由IIIIII中向量线性表出且反之亦然，则称向量组I,III,III,II等价，记为I≅III \cong III≅II
等价具有自反性、等价性和传递性且向量组总是与其极大线性无关组等价。

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