1、连续系统基本概念

1.1 连续系统

连续系统： 是指系统输出时间上连续变化，而不是仅在离散时刻采样取值。对于满足以下条件的系统，我们称之为连续系统：
（1）系统输出连续变化，变化的时间间隔为无穷小量。
（2）存在系统输入或输出的微分项。
（3）系统具有连续状态。
设连续系统的输入变化量为u(t)u(t)u(t)，其中ttt为连续取值的时间变量，系统的输出为y(t)y(t)y(t)，连续系统的一般数学描述为：
y(t)=f(u(t),t)y(t)=f(u(t),t)y(t)=f(u(t),t)
微分方程形式为：
∂x∂t=f(x(t),u(t),t)\frac{\partial x}{\partial t}=f(x(t),u(t),t) ∂t∂x=f(x(t),u(t),t)
y(t)=g(x(t),u(t),t)y(t)=g(x(t),u(t),t)y(t)=g(x(t),u(t),t)

1.2 线性连续系统

线性连续系统： 对满足以下两个条件的连续系统，我们称为线性连续系统。
(1)、齐次性： 对于连续系统y(t)=T{u(t)},t=0,1,2...y(t)=T\lbrace u(t) \rbrace, t=0,1,2...y(t)=T{u(t)},t=0,1,2...，如果对任意的输入u(t)u(t)u(t)与给定的常数α\alphaα，下面的式子总成立：
T{αu(t)}=αT{u(t)}T\lbrace \alpha u(t) \rbrace = \alpha T\lbrace u(t) \rbrace T{αu(t)}=αT{u(t)}
则称系统满足齐次性。
(2)、叠加性： 对于系统对于输出u1(t)u_1(t)u1(t)和u2(t)u_2(t)u2(t)，输出分别为y1(t)y_1(t)y1(t) 和y2(t)y_2(t)y2(t)，总有下面的式子成立：
T{u1(t)+u2(t)}=T{u1(t)}+T{u2(t)}T\lbrace u_1(t)+u_2(t) \rbrace = T\lbrace u_1(t) \rbrace + T\lbrace u_2(t) \rbrace T{u1(t)+u2(t)}=T{u1(t)}+T{u2(t)}
则称系统满足叠加性。

1.3 Laplace变换

Laplace变换Laplace变换Laplace变换： 对于连续信号u(t)u(t)u(t)，其LaplaceLaplaceLaplace变换定义为U(s)=∫−∞∞u(t)e−stdtU(s)=\displaystyle \int ^\infty_{-\infty} u(t)e^{-st} {\rm d}tU(s)=∫−∞∞u(t)e−stdt。一般而言，系统的输入时间t≥0t \geq 0t≥0，这时U(s)=∫0∞u(t)e−stdtU(s)=\displaystyle \int ^\infty_0 u(t)e^{-st} {\rm d}tU(s)=∫0∞u(t)e−stdt。一般简记为U(s)=L(u(t))U(s)=L(u(t))U(s)=L(u(t))。
Laplace变换Laplace变换Laplace变换具有如下两个重要性质：
(1)、线性关系： LaplaceLaplaceLaplace变换同时满足齐次性和叠加性，即：
U{αu1(t)+βu2(t)}=αU{u1(t)}+βU{u2(t)}U\lbrace \alpha u_1(t)+\beta u_2(t) \rbrace = \alpha U\lbrace u_1(t) \rbrace + \beta U\lbrace u_2(t) \rbrace U{αu1(t)+βu2(t)}=αU{u1(t)}+βU{u2(t)}
(2)、设连续信号u(t)u(t)u(t)的LaplaceLaplaceLaplace变换为U(s)U(s)U(s)，则∂u∂t\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}∂t∂u的LaplaceLaplaceLaplace变换为sU(t)sU(t)sU(t)。
线性连续系统的另一个模型为状态空间模型：
{∂u∂t=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)\begin{cases} \displaystyle \frac {\partial u} {\partial t} = Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\\ \end{cases} ⎩⎨⎧∂t∂u=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)

2、蹦极模型（例1）仿真

2.1 蹦极模型

【例1】蹦极跳是一种挑战身体极限的运动，蹦极者系着一根弹力绳从高处的桥梁（或山崖等）向下跳。在下落的过程中，蹦极者几乎处于失重状态。按照牛顿运动定律，自由下落的物体的位置由下面的式子确定：
m∂2x∂t2=mg−a1∂x∂t−a2∣∂x∂t∣∂x∂tm \frac{\partial^2x}{\partial t^2} = mg-a_1 \frac{\partial x}{\partial t}-a_2 \left| \frac{\partial x}{\partial t} \right|\frac{\partial x}{\partial t} m∂t2∂2x=mg−a1∂t∂x−a2∣∣∣∣∂t∂x∣∣∣∣∂t∂x
其中m为物体质量，g为重力加速度，x为物体的位置，a1a_1a1 、a2a_2a2表示空气阻力的系数。
现选择蹦极者起跳位置为起点（即x=0处），低于起点位置为正，高于起点为负。如果物体系在一个弹性系数为kkk的弹力绳索上，绳索的原始长度为x0x_0x0，则其对下落物体位置的作用力为:
b(x)={−k(x−x0),x>x00,x≤x0b(x)=\begin{cases} -k(x-x_0), x>x_0 \\ 0 , x \leq x_0 \\ \end{cases} b(x)={−k(x−x0),x>x00,x≤x0
设蹦极者起跳位置距离地面 80m80m80m，绳索原始长度x0=30mx0=30mx0=30m，蹦极者起始速度为 0，即。其余参数分别为k=18.45,a1=1.3,a2=1.1,m=70kg,=9.8m/s2k=18.45, a_1=1.3, a_2=1.1, m=70 kg ,=9.8 m/s^2k=18.45,a1=1.3,a2=1.1,m=70kg,=9.8m/s2。试建立蹦极跳系统的Simulink仿真模型，并对系统进行仿真，分析此蹦极跳系统是否安全。

2.2 建模

建立蹦极跳系统的Simulink仿真模型。根据系统的数学描述选择合适的Simulink系统模块，建立此蹦极跳系统的Simulink模型，如上图所示。
Constant模块：用于表示蹦极者重力mgmgmg。
Constant1模块：用于表示绳索原始长度x0x_0x0。
Constant2模块：用于表示当x≤x0x ≤ x_0x≤x0时函数b(x)b(x)b(x)的取值，即000。
Constant3模块：用于表示蹦极者起始位置相对地面的距离。
Gain模块：用于表示弹性系数的负数，即−k-k−k。
Gain1模块：用于表示参数a1a_1a1。
Gain2模块：用于表示参数a2a_2a2。
Gain3模块：用于表示蹦极者质量的倒数，即1m\frac{1}{m}m1。
Abs 模块：来自Math Operations子库，用于对信号取绝对值。
Integrator模块和Integrator1模块：来自Continuous子库，用于对信号进行积分。Integrator模块的输入信号为，输出为；Integrator1模块的输入信号为，输出为xxx。
Switch 模块：来自Signal Routing 子库，用于构建分段函数b(x)b(x)b(x)。

2.3 模型参数设置

mg模块：常值设为70*9.8。
0模块：常值设为0。
x0模块：常值设为30。
distance模块：常值设为80。
-k模块：增益设为-18.45。
a1模块：增益设为1.3。
a2模块：增益设为1.1。
1/m模块：增益设为1/70。
Switch模块：Threshold设为默认值，判断准则设为u2>Threshold，如图4-19所示。
Integrator模块和Integrator1模块：由于设初始位置和初始速度均为0，故这两个模块的初始值设为默认值（零）即可。

2.4 系统仿真

仿真时间设置为50s，然后运行，结果如图所示。

从图中可以看到，蹦极者相对地面的距离存在小于零的情况，也就是说此蹦极跳系统对于70kg的蹦极者来说不安全的，蹦极者会触碰到地面。

3、比例微分控制器（例2）仿真

3.1 比例微分控制器模型

【例2】比例微分控制器系统，其数学描述为：
u(t)=Kpe(t)+Kd∂e∂tu(t)=K_p e(t) + K_d \frac{\partial e}{\partial t} u(t)=Kpe(t)+Kd∂t∂e
现有一个执行机构，其传递函数为：
1(s−1.1)(s+1.1)\frac{1}{(s-1.1)(s+1.1)}(s−1.1)(s+1.1)1
显然，它是发散的，不稳定的，其开环阶跃响应曲线如图所示。

3.2 建模

Derivative模块：来自Continuous子库，微分器，其输入为e(t)e(t)e(t)，输出为。
Gain模块：控制器比例项系数，即Kp=15K_p=15Kp=15。
Gain1模块：控制器微分项系数，即Kd=2K_d=2Kd=2。
Zero-Pole 模块：设置Zeros 零点为[]，Poles 极点为[1.1 -1.1]，Gain 增益为1，其余默认，如图所示。

3.3 模型仿真

仿真时间设置为20s。
最大仿真步长设置为0.01。
绝对误差设置为1e-6。

仿真结果如图所示，在阶跃信号的作用下，系统不断地对位置误差进行控制修正，最终系统达到了稳定状态，可以通过调整KpK_pKp、KdK_dKd以获得更好的性能。

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