第一章绪论

第一节研究误差的意义

研究误差的意义为
（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。
（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真实的数据。
（3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下得到理想的结果。

第二节误差的基本概念

一、误差定义和表示

（一）绝对误差(Δ)(\Delta)(Δ)
　　某量值的测量值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差，即
　　Δ=L−L0\Delta=L-L_0Δ=L−L0
　　真值是指在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小，一般是未知的。某些特定的情况下，真值又是可知的。例如：三角形的内角和为180°（理论真值）；国际千克基准1kg（约定真值）。为满足使用上的需要，一般把高一等级精度的标准所测得的量值作为真值。
（二）相对误差(δ)(\delta)(δ)
　　绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差。因为测得值与真值接近，所以也可近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误差，即
　　δ=ΔL0≈ΔL\delta=\frac{\Delta}{L_0}≈\frac{\Delta}{L}δ=L0Δ≈LΔ　
　　相对误差用百分数表示。
　　对于相同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高低，但是对于不同的被测量以及不同的物理量，用绝对误差比较没有意义，需要采用相对误差来评定。
　　【例1-1】在测量某一长度时,读数值为2.31m2.31m2.31m,其最大绝对误差为20μm20\mu m20μm,试求其最大相对误差。
　　解：δmax=ΔmaxL×100%=20μm2.31m×100%=8.66×10−4%\delta_{max}=\frac{\Delta_{max}}{L}\times100\%=\frac{20\mu m}{2.31m}\times100\%=8.66\times10^{-4}\%δmax=LΔmax×100%=2.31m20μm×100%=8.66×10−4%
　　【例1-2】用两种方法分别测量L1=50mmL_1=50mmL1=50mm,L2=80mmL_2=80mmL2=80mm。测得值各为50.004mm50.004mm50.004mm,80.006mm80.006mm80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。
　　解：题中的两种被测量不同，应使用相对误差评定
　　　　δ1=50.004−5050×100％=0.008％\delta_1=\frac{50.004-50}{50}\times100％=0.008％δ1=5050.004−50×100％=0.008％
　　　　δ2=80.006−8080×100％=0.0075％\delta_2=\frac{80.006-80}{80}\times100％=0.0075％δ2=8080.006−80×100％=0.0075％
　　　　δ1>δ2\delta_1>\delta_2δ1>δ2，所以方法二测量精度高。
　　【例1-3】测得某三角块的三个角度之和为180°00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差。
　　解：Δ=180°00′02″−180°=2″\Delta=180°00'02″-180°=2″Δ=180°00′02″−180°=2″
　　　　δ=2″180°=2″648000″=0.00000308641≈0.00031%\delta=\frac{2″}{180°}=\frac{2″}{648000″}=0.00000308641\approx0.00031\%δ=180°2″=648000″2″=0.00000308641≈0.00031%
　　【例1-4】多级弹导火箭的射程为10000km10000km10000km时,其射击偏离预定点不超过0.1km0.1km0.1km,优秀射手能在距离50m50m50m远处准确地射中直径为2cm2cm2cm的靶心,试评述哪一个射击精度高?
　　解：使用相对误差评定
　　　　δ1=0.110000×100％=0.001％\delta_1=\frac{0.1}{10000}\times100％=0.001％δ1=100000.1×100％=0.001％
　　　　δ2=0.0150×100％=0.002％\delta_2=\frac{0.01}{50}\times100％=0.002％δ2=500.01×100％=0.002％（注意题中为直径）
　　　　δ1<δ2\delta_1<\delta_2δ1<δ2，所以多级火箭的射击精度高。
　　【例1-5】若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mmL_1=110mmL1=110mm,其测量误差分别为±11μm\pm11\mu m±11μm和±9μm\pm9\mu m±9μm;而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mmL_2=150mmL2=150mm，其测量误差为±12μm\pm12\mu m±12μm,试比较三种测量方法精度的高低。
　　解：使用相对误差判定
　　　　δ1=±11μm110mm×100％=±0.01％\delta_1=\pm\frac{11\mu m}{110mm}\times100％=\pm0.01％δ1=±110mm11μm×100％=±0.01％
　　　　δ2=±9μm110mm×100％=±0.0082％\delta_2=\pm\frac{9\mu m}{110mm}\times100％=\pm0.0082％δ2=±110mm9μm×100％=±0.0082％
　　　　δ3=±12μm150mm×100％=±0.008％\delta_3=\pm\frac{12\mu m}{150mm}\times100％=\pm0.008％δ3=±150mm12μm×100％=±0.008％
　　　　δ3<δ2<δ1\delta_3<\delta_2<\delta_1δ3<δ2<δ1，所以方法三测量精度最高。
(三）引用误差(γ)(\gamma)(γ)
　　引用误差是仪器仪表示值得相对误差，它是以仪器仪表某一刻度点得示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得得比值称为引用误差，即
　　γ=ΔLmax−Lmin\gamma=\frac{\Delta}{L_{max}-L_{min}}γ=Lmax−LminΔ　　
　　在仪器得全量程范围内有多个刻度点，每个刻度都有相应得引用误差，其中绝对值最大得引用误差称为仪器得最大引用误差。
　　【例1-6】检定2.52.52.5级(即引用误差为2.52.5%2.5)的全量程为100V100V100V的电压表,发现50V50V50V刻度点的示值误差2V2V2V为最大误差,问该电压表是否合格?
　　解：γmax=ΔmaxLmax−Lmin×100%=2100×100%=2%<2.5%\gamma_{max}=\frac{\Delta_{max}}{L_{max}-L_{min}}\times100\%=\frac{2}{100}\times100\%=2\%<2.5\%γmax=Lmax−LminΔmax×100%=1002×100%=2%<2.5%
　　　　该电压表合格。

二、误差的来源

误差产生的原因有四种：测量装置误、差环境误差、方法误差、人员误差。

三、误差的分类

（一）系统误差：按一定规律变化的误差称为系统误差。
（二）随机误差：不可预见变化方式的误差称为随机误差。
（三）粗大误差：出可预期值很远的误差称为粗大误差。

第三节精度

误差与精度相对应，误差小则精度高，误差大则精度低。
（1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。
（2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。
（3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。

分析上图来理解三个概念
　　a)系统误差小而随机误差大，即准确度高而精密度低。
　　b)系统误差大而随机误差小，即准确度低而精密度高。
　　c)系统误差小且随机误差小，即准确度高且精密度高，精确度高。

第四节数据运算规则

（1）近似数加减运算时各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余数据可多取一位小数，但最后结果与小数位数最少的数据小数位数相同。
（2）近似数乘除运算时规则与加减运算基本相同。
　　【例1-7】根据数据运算规则，分别计算下式结果
　　（1）3151.0+65.8+7.326+0.4162+152.283151.0+65.8+7.326+0.4162+152.283151.0+65.8+7.326+0.4162+152.28
　　　≈3151.0+65.8+7.33+0.42+152.28≈3151.0+65.8+7.33+0.42+152.28≈3151.0+65.8+7.33+0.42+152.28
　　　=3376.83≈3376.8=3376.83≈3376.8=3376.83≈3376.8
　　（2）28.13×0.037×1.47328.13\times0.037\times1.47328.13×0.037×1.473
　　　≈28.1×0.037×1.47≈28.1\times0.037\times1.47≈28.1×0.037×1.47
　　　=1.528359≈1.5=1.528359≈1.5=1.528359≈1.5

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误差理论与数据处理（一）

文章目录

第一章绪论

第一节研究误差的意义

第二节误差的基本概念

一、误差定义和表示

二、误差的来源

三、误差的分类

第三节精度

第四节数据运算规则

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第一节 研究误差的意义

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